Phương trình 35x2 – 37x + 2 = 0

Có a = 35; b = -37; c = 2 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = c/a = 2/35.

\(\Leftrightarrow5\left(x^4+2x^2+1\right)+2\left(y^6+2y^3+1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+1\right)^2+2\left(y^3+1\right)^2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2=\dfrac{13-2\left(y^3+1\right)^2}{5}\le\dfrac{13}{5}< 4\)

\(\Rightarrow x^2+1< 2\Rightarrow x^2< 1\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow y^6+2y^3-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^3=1\Rightarrow y=1\\y^3=-3\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\)

a) Phương trình  35 x 2   –   37 x   +   2   =   0

Có a = 35; b = -37; c = 2 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có nghiệm  x 1   =   1 ;   x 2   =   c / a   =   2 / 35 .

b) Phương trình  7 x 2   +   500 x   –   507   =   0

Có a = 7; b = 500; c = -507 ⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm  x 1   =   1 ;   x 2   =   c / a   =   - 507 / 7 .

c) Phương trình  x 2   –   49 x   –   50   =   0

Có a = 1; b = -49; c = -50 ⇒ a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm  x 1   =   - 1 ;   x 2   =   - c / a   =   50 .

d) Phương trình  4321 x 2   +   21 x   –   4300   =   0

Có a = 4321; b = 21; c = -4300 ⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm  x 1   =   - 1 ;   x 2   =   - c / a   =   4300 / 4321 .

Ta có : \(x^4+2x^3-10x^2+10x-3=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+2x^3-3\right)-\left(10x^2-10x\right)=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right).\left(x^3+3x^2-7x+3\right)=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2.\left(x^2+4x-3\right)=y^2\)

Vì \(x,y\inℤ\) nên y² là số chính phương khi 

x² + 4x - 3 là số chính phương

Đặt x² + 4x - 3 = t²

\(\Leftrightarrow\left(x+t+2\right).\left(x-t+2\right)=7\)

Ta có bảng 

Ta được x = 2 ; x = -6 thỏa 

Với x = 2 <=> y = \(\pm3\)

Với x = -6 <=> y = \(\pm21\)

(II): 

Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d):

(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’):

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (II) vô nghiệm.

a)  x 4   –   5 x 2   +   4   =   0   ( 1 )

Đặt x 2   =   t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành :  t 2   –   5 t   +   4   =   0   ( 2 )

Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm  t 1   =   1 ;   t 2   =   c / a   =   4

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x 2   =   1  ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x 2   =   4  ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

b)  2 x 4   –   3 x 2   –   2   =   0 ;   ( 1 )

Đặt   x 2   =   t , điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành :  2 t 2   –   3 t   –   2   =   0   ( 2 )

Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2

⇒   Δ   =   ( - 3 ) 2   -   4 . 2 . ( - 2 )   =   25   >   0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Chỉ có giá trị t 1   =   2  thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x 2   =   2  ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c)  3 x 4   +   10 x 2   +   3   =   0   ( 1 )

Đặt x 2   =   t , điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành :  3 t 2   +   10 t   +   3   =   0   ( 2 )

Giải (2) : Có a = 3; b' = 5; c = 3

⇒  Δ ’   =   5 2   –   3 . 3   =   16   >   0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

x 4 − 5 x 3 + 8 x 2 − 10 x + 4 = 0 ⇔ ( x 4 + 4 x 2 + 4 ) − 5 x 3 + 4 x 2 − 10 x = 0

⇔ x 2 + 2 2 − 5 x 3 + 10 x + 4 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 2 − 5 x x 2 + 2 + 4 x 2 = 0

Đặt t = x 2 + 2  ta được t 2 − 5 t x + 4 x 2 = 0 ⇔ t − x t − 4 x = 0

Hay phương trình đã cho ⇔ x 2 − x + 2 x 2 − 4 x + 2 = 0

⇔ x 2 − x + 2 = 0    ( V N ) x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± 2

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Đáp án cần chọn là: D

a) (I): 

Xét (d): x + y = 2 hay (d): y = -x + 2 có a = -1; b = 2.

(d’) 3x + 3y = 2 hay (d’): y = -x +  có a’ = -1 ; b’ = 

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (I) vô nghiệm.

b) (II): 

Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d):

(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’):

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (II) vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

+ Xét hệ (I): 

Gọi (d): ax + by = c và (d’): a’x + b’y = c’.

Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (d’).

    (d) cắt (d’) ⇒ hệ (I) có nghiệm duy nhất.

    (d) // (d’) ⇒ hệ (I) vô nghiệm

    (d) ≡ (d’) ⇒ hệ (I) có vô số nghiệm.

+ Cho đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.

    (d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’

    (d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’

    (d) trùng (d’) ⇔ a = a’ và b = b’.

\(3x^5-10x^4+3x^3+3x^2-10x+3=0\) 

___________

Nháp:

Ta nhẩm ngiệm ra được -1 vì tổng các hệ số có số mũ chẵn bằng tổng các hệ số có số mủ lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}3+3-10=-4\\-10+3+3=-4\end{matrix}\right.\)  

Theo sơ đồ hoocner ta có:

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(3x^4-13x^3+16x^2-13x+3\right)\)

Tiếp dùng phương pháp đoán nghiệm ta có thể phân tích thành 

\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\left(x^2-x-1\right)\) 

_____________________________________

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)