max=căn 66

áp dụng bất đẳng thức cô si là ra 

tích cho nha

Áp dụng bđt côsi ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(x+y\right)4}\le\frac{x+y+4}{2}\left(1\right)\\\sqrt{\left(z+y\right)4}\le\frac{y+z+4}{2}\left(2\right)\\\sqrt{\left(z+x\right)4}\le\frac{z+x+4}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:

\(2P\le x+y+z+6=12\)

\(\Leftrightarrow p\le6\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Vậy \(P_{max}=6\)\(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Phần Min anh sử dụng cách tương tự như:Câu hỏi của tth_new - Toán lớp 1 (em ko chắc đâu nhưng chắc là đúng:D) . Cách khác em chưa nghĩ ra:P

`0<=y,z<=1`

`=>1-y,1-z>=0`

`=>(1-y)(1-z)>=0`

`=>1-y-z+yz>=0`

`=>yz>=y+z-1`

`=>2yz>=2x+2z-2`

`=>P=x^2+y^2+z^2`

`=>P=x^2+(y^2+2yz+z^2)-2yz`

`=>P=x^2+(y+z)^2-2yz`

`=>P<=x^2-2(y+z-1)+(3/2-x)^2`

`=>P<=(3/2-x)^2-2(1/2-x)+x^2`

`=>P<=9/4-3x+x^2-1+2x+x^2`

`=>P<=5/4+2x^2-x`

Giả sử:

`x<=y<=z`

`=>x+x+x<=x+y+z=3/2`

`=>3x<=3/2`

`=>x<=1/2`

`0<=x<=1/2=>2x^2-x<=0`

`=>P<=5/4`

Dấu "=" xảy ra khi `(x,y,z)=(0,1,1/2)` và các hoán vị

Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\dfrac{9}{4}:3=\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{4}\)

Vậy: \(P_{max}=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{4}\)

`0<=y,z<=1`

`=>1-y,1-z>=0`

`=>(1-y)(1-z)>=0`

`=>1-y-z+yz>=0`

`=>yz>=y+z-1`

`=>2yz>=2x+2z-2`

`=>P=x^2+y^2+z^2`

`=>P=x^2+(y^2+2yz+z^2)-2yz`

`=>P=x^2+(y+z)^2-2yz`

`=>P<=x^2-2(y+z-1)+(3/2-x)^2`

`=>P<=(3/2-x)^2-2(1/2-x)+x^2`

`=>P<=9/4-3x+x^2-1+2x+x^2`

`=>P<=5/4+2x^2-x`

Giả sử:

`x<=y<=z`

`=>x+x+x<=x+y+z=3/2`

`=>3x<=3/2`

`=>x<=1/2`

`0<=x<=1/2=>2x^2-x<=0`

`=>P<=5/4`

Dấu "=" xảy ra khi `(x,y,z)=(0,1,1/2)` và các hoán vị

\(M=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z}=\frac{3}{2}\)

Nên max M là \(\frac{3}{2}\) khi x=y=z=1

\(x+y+z=3\ge x,y,z\)\(\Rightarrow M\ge\frac{x}{10}+\frac{y}{10}+\frac{z}{10}=\frac{3}{10}\)

Nên min M là \(\frac{3}{10}\) khi trong x,y,z có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 3

9 = 2² + 2² +1²  

suy ra x ; y ; z = 2 ; 2 và 1

Ta chứng minh \(P\ge\frac{25}{64}\). Thật vậy:

Đặt \(p=x+y+z=\frac{3}{2},q=ab+bc+ca,r=abc\)

Cần chứng minh: 

Dễ thấy khi r giảm thì f(r) giảm. Mà theo Schur: -3/8 + (2*q)/3=-1/9*p^3 + 4/9*q*p <= r 

Nên \(f\left(r\right)\ge f\left(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8}\right)=\frac{\left(4q-3\right)\left(q-6\right)}{9}\ge0\)

Done.

Bunyakovski hả?

Có: \(\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

Cần chứng minh: \(\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}+x^2y^2z^2\ge\frac{25}{64}\)

Or \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}+\left(x^2y^2z^2+\frac{1}{64}\right)\ge\frac{13}{32}\)

Or: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{4}xyz\ge\frac{13}{32}=\frac{13}{108}\left(x+y+z\right)^3\)(*)

 (1)

Điều thú vị là BĐT (*) đúng với mọi x,y,z thuộc R thỏa mãn x + y + z \(\ge0\) (nhờ đẳng thức (1) ). 

Mà điều này luôn đúng do điều kiện...

Có thể xem bất đẳng thức chặt hơn: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{4}xyz\ge\frac{13}{108}\left(x+y+z\right)^3\) (ở lời giải 2)

Tại đây.

đề đúng ko v

đúng đó bạn ạ

úi lộn k phải 3² mà là 3x^2