Cho A', B', C' lần lượt nằm tên cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC, biết rằng Â', BB', CC" đồng quy tại M
CM:\(\dfrac{AM}{A'M}=\dfrac{AB'}{CB'}+\dfrac{AC'}{B'C'}\)
Cho A',B',C' lần lượt nằm trên cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC. Biết rằng AA',BB',CC' đồng quy tại M. Chứng minh rằng: \(\frac{AM}{A'M}=\frac{AB'}{CB'}+\frac{AC'}{BC'}\)
Bạn đọc tự vẽ hình.
Xét tam giác \(AA'C\)có \(M,B,B'\)lần lượt nằm trên các cạnh \(AA',A'C,CA\)và \(M,B,B'\)thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có:
\(\frac{MA}{MA'}.\frac{BA'}{BC}.\frac{B'C}{B'A}=1\Leftrightarrow\frac{MA}{MA'}.\frac{BA'}{BC}=\frac{B'A}{B'C}\)
Tương tự khi xét tam giác \(AA'B\)với các điểm \(M,B,B'\)ta cũng có:
\(\frac{MA}{MA'}.\frac{CA'}{CB}=\frac{C'A}{C'B}\)
Suy ra \(\frac{B'A}{B'C}+\frac{C'A}{C'B}=\frac{MA}{MA'}\left(\frac{BA'}{BC}+\frac{CA'}{CB}\right)=\frac{MA}{MA'}.\frac{BC}{BC}=\frac{MA}{MA'}\).
Ta có đpcm.
\(\frac{AM}{A'M}=\frac{AE}{BA'}=\frac{AD}{A'C}=\frac{AD+AE}{A'C+A'B}=\frac{DE}{BC}\)
\(\Delta CBB'\)có AE // BC , nên \(\frac{AB'}{B'C}=\frac{AE}{BC}\)( hệ quả của định lí Ta-lét);
\(\Delta BCC'\)có DA // BC , nên \(\frac{AC'}{BC'}=\frac{DA}{BC}\)( hệ quả của định lí Ta-lét).
Ta có : \(\frac{AB'}{CB'}=\frac{AC'}{BC'}=\frac{AE}{BC}+\frac{DA}{BC}=\frac{DE}{BC}\)
Do đó : \(\frac{AM}{A'M}=\frac{AB'}{CB'}+\frac{AC'}{BC'}\)
Cho A', B', C' lần lượt thuộc cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. biết AA', BB', CC' đồng quy tại M. C hứng minh AM/A'M=A'B/CB'+AC'/BC'
Cho $A'$, $B'$, $C'$ nằm trên các cạnh $BC$, $AC$, $AB$ của $\Delta $ABC, biết $AA'$, $BB'$, $CC'$ đồng quy tại $M$. Chứng minh rằng $\dfrac{AM}{A'M}=\dfrac{AB'}{CB'}+\dfrac{AC'}{BC'}$.
Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại và cắt tại .
Khi đó
có // suy ra (1)
có // suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta có (*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
có // suy ra (3)
có // suy ra (4)
Từ (3) và (4) ta có (**)
Từ (*) và (**) ta có (đpcm).
Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại và cắt tại .
Khi đó
có // suy ra (1)
có // suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta có (*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
có // suy ra (3)
có // suy ra (4)
Từ (3) và (4) ta có (**)
Từ (*) và (**) ta có (đpcm).
cho tam giác abc các điểm a';b';c' trên các cạnh bc;ac;ab sao cho các đường thẳng aa';bb';cc' đồng quy tại m chứng minh rằng am/a'm=ab'/cb'+ac'/bc'
Cho A',B',C' lần lượt nằm trên cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC .Biết rằng AA',BB',CC' đồng qui tại M.Chứng minh rằng:AM/A"M=AB'/CB'+AC'/BC'
Cho tam giác ABC và 3 điểm A', B', C' lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy (A', B', C' không trùng với các đỉnh của tam giác ). CM: \(\dfrac{A'B}{A'C}.\dfrac{B'C}{B'A}.\dfrac{C'A}{C'B}=1\)
Đây là định lý Ceva nhé bạn!
Giả sử AA', BB', CC' đồng quy tại O.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{A'B}{A'C}=\dfrac{S_{OA'B}}{S_{OA'C}}=\dfrac{S_{AA'B}}{S_{AA'C}}=\dfrac{S_{AA'B}-S_{OA'B}}{S_{AA'C}-S_{OA'C}}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{OAC}}\).
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{B'C}{B'A}=\dfrac{S_{OBC}}{S_{OBA}};\dfrac{C'A}{C'B}=\dfrac{S_{OAC}}{S_{OBC}}\).
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên ta có đpcm.
P/s: Ngoài ra còn có các cách khác như dùng định lý Thales,..)
Cho A', B', C' lần lượt nằm trên ba cạnh BC, AC, AB (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC sao cho AA', BB', CC' đồng quy tại O.
Chứng minh rằng : \(\frac{AC'}{BC'}.\frac{BA'}{CA'}.\frac{CB'}{AB'}=1\) (Định lí Xêva).
trong sách nâng cao phát triển toán 8 có bạn nhé
cho tam giác ABC, một điểm M tùy ý trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, Ac, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}\) là hằng số
Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy M,N sao cho AM=MN=NB. Gọi A' B' lần lượt là trung điểm của BC Và AC, BB' cắt CN tại P; Â' cắt CM tại K
a,Cm P là trung điểm của BB'
B,Cho AB= 16 cm. Tính PK
Gọi chiều dài của tấm thứ nhất là x,chiều rộng của tấm thứ nhất là y.
Gọi chiều rộng của tấm thứ 2 là z,gọi chiều dài của tấm thứ 3 là t.Ta có:
$2x+t=110$
$2z+y=2,1$
Và có:
$\dfrac{xy}{120000}=\dfrac{xz}{192000}=\dfrac{1440 00}{zt}$
Ta có:
$\dfrac{xy}{120000}=\dfrac{xz}{192000}
ightarrow \dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{8}$
Đặt $\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{8}=k
ightarrow y=5k \ \ z=8k$
$
ightarrow 2.8k+5k=21k=2,1
ightarrow k=0,1
ightarrow z=0,8m \ \ y=0,5m$
Lại có:
$\dfrac{xz}{192000}=\dfrac{144000}{zt}
ightarrow \dfrac{0,8x}{192000}=\dfrac{0,8t}{144000}
ightarrow \dfrac{x}{4}=\dfrac{t}{3}$
Đặt $\dfrac{x}{4}=\dfrac{t}{3}=m
ightarrow x=4n \ \ t=3n$
$
ightarrow 2x+t=11n=110
ightarrow n=10
ightarrow x=40 \ \ t=30$
$
ightarrow $ $xy=40.0,5=20 m^2 \\ xz=40.0,8=32m^2 \\ zt=30.0,8=24$