Thêm đk ước chính phương khác 1 sẽ chặt chẽ hơn nhé

Do (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 35

=> (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 7

<=> (18a+13b).2.(2a+3b) chia hết cho 7

Mà (2;7)=1 nên (18a+13b)(2a+3b) chia hết cho 7

Lại thấy 7 là số nguyên tố nên 18a+13b hoặc 2a+3b chia hết cho 7

Đặt A=18a+13b; B=2a+3b

Xét hiệu: 9B-A=9.(2a+3b)-(18a+13b)

= 18a+27b-18a-13b = 14b chia hết cho 7 (1)

+ Nếu A chia hết cho 7, từ (1) => 9B chia hết cho 7

Mà (9;7)=1 => B chia hết cho 7

Do đó, 2AB = (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 7²

+ Nếu B chia hết cho 7 từ (1) => A chia hết cho 7

=> 2AB = (18a+13b)(4a+6b) chia hết cho 7²

Như vậy, trong cả 2 trường hợp ta đều có (18a+13b)(4a+6b) có ít nhất 1 ước chính phương là 7² (đpcm)

Đặt tích: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)=P\)

\(P=\left[11\left(2a+b\right)-6\left(a-b\right)\right]\cdot\left[11\left(2a+b\right)-5\left(a-b\right)\right]\)

P chia hết cho 11 thì

Vậy, P luôn có ít nhất 1 ước chính phương (khác 1) là 11². ĐPCM

Theo đề bài, ta có: \(p^2+a^2=b^2\Rightarrow p^2=b^2-a^2=\left(b+a\right)\left(b-a\right)\)(1)

Vì p là số nguyên tố nên \(p^2\)có 3 ước là \(1;p;p^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra có 3 khả năng có thể xảy ra là:

Khả năng 1: \(\hept{\begin{cases}b+a=1\\b-a=p^2\end{cases}}\). Điều này không thể xảy ra vì p > 3 nên \(p^2>9\Rightarrow b-a>9>1=b+a\Rightarrow-2a>0\)vô lí vì a nguyên dương

Khả năng 2: \(\hept{\begin{cases}b+a=p\\b-a=p\end{cases}}\Rightarrow b+a=b-a\Rightarrow2a=0\Rightarrow a=0\)(Loại vì a nguyên dương, không thể bằng 0)

Khả năng 3: \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\left(3\right)\\b-a=1\left(4\right)\end{cases}}\)

Lấy (3) - (4), ta được: \(2a=p^2-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 (*) nên p không chia hết cho 3 nên \(p^2\)chia 3 dư 1\(\Rightarrow p^2-1⋮3\)

\(\Rightarrow2a⋮3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên \(a⋮3\)(**)

Từ (*) suy ra p lẻ nên \(p-1\)và \(p+1\)là hai số chẵn liên tiếp

Đặt \(p-1=2k\left(k\inℕ,k>1\right)\)thì \(p+1=2k+2\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=4k\left(k+1\right)\)

Vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)suy ra \(4k\left(k+1\right)⋮8\)

hay \(2a⋮8\Rightarrow a⋮4\)(***)

Từ (**) và (***) suy ra \(a⋮12\)do \(\left(3,4\right)=1\)(đpcm)

Vì \(2a=p^2-1\Rightarrow2\left(p+a+1\right)\)       \(=2p+2a+2=2p+p^2-1+2=p^2+2p+1=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương (đpcm)

Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K1, K2, K3, K4, K5 (phân biệt từng đôi một).Ta có : 
K1 = 2^(a1).3^(b1) 
K2 = 2^(a2).3^(b2) 
K3 = 2^(a3).3^(b3) 
K4 = 2^(a4).3^(b4) 
K5 = 2^(a5).3^(b5) 
(a1,a2,a3,... và b1,b2,b3,... đều là số tự nhiên) 
Xét 4 tập hợp sau : 
+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n lẻ) 
+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n chẵn) 
+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n lẻ) 
+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n chẵn) 
Rõ ràng trong 5 số K1, K2, K3, K4, K5 chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ Ki và Kj 
Ki = 2^(ai).3^(bi) và Kj = 2^(aj).3^(bj) ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj) 
Vì Ki và Kj thuộc cùng 1 tập hợp ---> ai và aj cùng tính chẵn lẻ, bi và bj cùng tính chẵn lẻ ---> ai+aj và bi+bj đều chẵn ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj) là số chính phương. 

Cách 1: 

Số trong 5 số có dạng 2^x.3^y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0.

(x;y) chỉ có thể (C;C); (L;L); (C;L); (L;C) vì có 5 số 4 dạng nên tồn tại 2 số cùng một dạng nên tích 2 số này là số chính phương.

Cách 2:

Ta dễ dàng chứng minh được trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số bất kỳ mà tổng của chúng chia hết cho 2.

Vì số trong 5 số có dạng 2^x.3^y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0 nên ta luôn chọn được 2 số mà tích của nó là số chính phương.