a) Ta có:   d // BC (gt)

 \(\Rightarrow\)B'C' // BC, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

     \(\frac{AB'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\)(Trong \(\Delta AB'C'\)và \(\Delta ABC\)) (1)

Và \(\frac{AB'}{AB}=\frac{AD'}{AD}\)(Trong \(\Delta AB'D'\)và \(\Delta ABD\)) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\)\(\frac{B'C'}{BC}=\frac{AD'}{AD}\left(3\right)\)

b) Ta có: AD' = \(\frac{1}{3}\)AD (gt) (4) \(\Leftrightarrow\frac{AD'}{AD}=\frac{1}{3}\left(5\right)\)

Từ (3), (5) \(\Rightarrow\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow B'C'=\frac{1}{3}BC\)\(\left(6\right)\)

Tích của cạnh đáy BC và đuuờng cao AD là:

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AD.BC\)

\(\Leftrightarrow\)73,5 \(=\frac{1}{2}AD.BC\)

\(\Leftrightarrow\)\(AD.BC=\)73,5 :\(\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(AD.BC=\)147     \(\left(7\right)\)

Diện tích tam giác AB'C' là:

\(S_{AB'C'}=\frac{1}{2}AD'.B'C'\)

Từ (4), (6) \(\Rightarrow S_{AB'C'}\)=\(\frac{1}{2}.(\frac{1}{3}.AD.\frac{1}{3}BC)\)

                \(\Leftrightarrow S_{AB'C'}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.AD.BC\)

Từ (7)  \(\Rightarrow S_{AB'C'}\)\(=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.147\)

                               \(=\frac{49}{6}\)

Vậy  \(S_{AB'C'}=\frac{49}{6}cm^2\)

a) Ta có : d // BC 

=> B'C' // BC 

Xét \(\Delta AB'H'\)và \(\Delta ABH\)( B'H' // BH )

Theo hệ quả của định lý Ta-lét 

=> \(\frac{AB'}{AB}=\frac{AH'}{AH}\)(1)

Xét \(\Delta AB'C'\) và \(\Delta ABC\)( B'C' // BC )

Theo hệ quả của định lý Ta-lét

=> \(\frac{AB'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\)(2)

Từ (1) và (2) 

=> \(\frac{AH'}{AH}=\frac{B'C'}{BC}\)( ĐPCM )

b) \(\frac{SAB'C'}{SABC}=\frac{\frac{1}{2}AH'.B'C'}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AH'}{AH}.\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)

=> \(SAB'C'=\frac{1}{9}\Rightarrow SAB'C'=\frac{SABC}{9}=\frac{67,5}{9}=7,5\left(cm^2\right)\)

Trong ΔABC, ta có: DM // BC (gt)

Nên  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra :  (3)

Từ (1) và (3) suy ra: 

Suy ra: 

Trong ΔABC, ta có: EN // BC (gt)

Từ (2) và (4) suy ra:  hay