Where is "z"?

z ở đâu thế bạn ơi

sửa giùm đề nha

chúc bn hok tốt

nếu có đk bạn làm thế nào

TA có x+y=1=>x=1-y=>xy=y(1-y)=y-y^2=-(y^2-y+1/4)+1/4=-(y-1/2)^2+1/4<=1/4

=>2xy<=1/2=>1-2xy>=1/2 . rồi bạn tiếp tục cm như bài cũ

\(x^3+y^3+xy\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(=x^2+y^2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=0,5

Nếu không dùng Bunhiacopxki thì:

c/m \(x^2+y^2\ge2xy\left(t\text{ự}cm\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy=1\)

=> ...

Có: \(x+y+z=0\)

CM được: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+xz+yz\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3\left(xy+yz\right)\left(xz+yz\right)\left(xz+xy\right)=0\)(từ CT: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)(Thế x+y=-z ; y+z=-x và x+z=-y)

\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=3x^2y^2z^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=6x^2y^2z^2\)(1)

Có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6+z^6+2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=9x^2y^2z^2\)(2)

Từ (1) và (2):

Có: \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)

Cho nên: \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)

bằng gì kệ màylởp 3 đó híhí

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)

khi đó chứng minh được: \(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)mà x+y+z=0

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)từ đó

\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(3xyz\right)^2-2\cdot3\cdot x^2y^2z^2}{3xyz}\)

\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)(đpcm)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) 

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) 

Tương tự rồi cộng từng vế, ta có: 

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{4}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\) 

=> ĐPCM

giả sử : \(x+y+xy=-1\) \(\Rightarrow x+y+xy+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=0\rightarrow x+1=0\) hoặc \(y+1=0\)

\(\Rightarrow x=-1\) hoặc \(y=-1\) ( trái giả thiết )

vậy nếu \(x\ne-1\) và \(y\ne-1\) thì \(x+y+xy\ne-1\)