Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\). Khi đó \(A\ge\dfrac{\pi}{3};C\le\dfrac{\pi}{3}\)

Vì \(\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\) và \(\pi\ge A+B=\pi-C\ge\dfrac{2\pi}{3}\) nên

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\ge A+B\ge\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+0=A+B+C=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

Ta có: \(f"\left(x\right)=-\cos x< 0\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) nên hàm số \(f\left(x\right)\) lõm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Khi đó, theo BĐT Karamata ta có:

\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(0\right)\le f\left(A\right)+f\left(B\right)+f\left(C\right)\le3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Hay \(\cos A+\cos B+\cos C\le\dfrac{3}{2}\)

Có thể đưa về hàm số:

\(AB=2\Rightarrow MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{4-MA^2}\)

Đặt \(MA=t\) với \(0\le t\le2\) \(\Rightarrow MB=\sqrt{4-t^2}\)

\(P=MA+2MB=f\left(t\right)=t+2\sqrt{4-t^2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(f'\left(t\right)=1-\dfrac{2t}{\sqrt{4-t^2}}=0\Rightarrow2t=\sqrt{4-t^2}\Rightarrow5t^2=4\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

\(f\left(0\right)=4\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=2\sqrt{5}\Rightarrow P_{max}=2\sqrt{5}\)

Để hiểu sâu cần bắt nguồn từ cái này: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) {gốc lớp 8}

đẳng thức khi a=b

\(\left(a-b\right)^2=a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(1) đẳng thức khi a=b

tương tự có \(c^2+d^2\ge2cd\) (2)

đẳng thức khi c=d

hiển nhiên \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge0\\c^2+d^2\ge0\end{matrix}\right.\) với mọi a,b,c,d thuộc R

Nhân (1) với (2) => điều cần chứng minh

Đẳng thức khi a=b và c=d

ta có: \(ac+bd\ge2\sqrt{acdb}\Rightarrow\left(ac+db\right)^2\ge4acdb\). nên ta có hệ quả của bất đẳng thức cô-si.
để xảy ra cả bất đẳng thức và hệ quả thì a = b = c = d. 

Chọn B

Chọn D

Ta có: m > 0 ⇒ 1/ m 2  > 0 ⇒ m. 1/ m 2  > 0. 1/ m 2  ⇒ 1/m > 0

Ta có: m < 0 ⇒ > 0 ⇒ 1/ m 2  > 0

m < 0 ⇒ m. 1/ m 2  < 0. 1/m2 ⇒ 1/m < 0

Đáp án C

Ta có: 3 + 1 > 1  do đó  π < 7 ⇒ log 3 + 1 π < log 3 + 1 7 .

Đáp án C

Ta có: