Cmr (a+b)(a-b)=a^2-b^2
(A+b)(a-b)=b^2-a^2
( a+b)(b^2-ba+a^2)=a^3+b^3 ?
cho a,b,c là số đo ba cạnh của 1 tam giác . cmr a^3+b^3+c^3+3abc ≥ a^2(b+c) + b^2(c+a) +c^2(a+b)
Lời giải:
BĐT $\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(*)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$
$(b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2$
$(a+b-c)(a+c-b)\leq \left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2$
Nhân theo vế 3 BĐT trên:
$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\geq (abc)^2$
$\Rightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (BĐT $(*)$ được cm)
Ta có đpcm.
Cho a, b, c là số đo ba cạnh tam giác. CMR: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
1)Rút gọn biểu thức
a)(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2
b)(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2
c)(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-c-b)^2
2)CMR:(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz) với x,y,z khác 0 thì x/a=b/y=c/z
3)Cho (a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2).CMR a=b=c
4)Cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca).CMR a=b=c
cho a, b, c là ba số dương và a + b + c = 3. CMR a^2/b+2 + b^2/c+2 + c^2/a+2 \(\ge\) 1
Ta có:\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)với\(\forall a;b\ge0;x;y>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}-\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy-a^2xy-2abxy-b^2xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2y^2-2aybx+b^2x^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ay-bx\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
Chứng minh tương tự, ta có\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(*)
Thay a;b;c vào (*), ta chứng minh được bất đẳng thức đã cho
Áp dụng S-vác-sơ, ta có
\(\frac{a^2}{b+2}+\frac{b^2}{c+2}+\frac{c^2}{a+2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+6}\)\(=\frac{3^2}{9}=1\)
Với a,b,c là ba số thực dương. CMR \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\text{ ≥ }a^2+b^2+c^2\)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow VT=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Cần chứng minh rằng \(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
áp dụng bđt Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ( đpcm )
Vậy \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)( đpcm )
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
1.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác:
CMR: \(a^2+b^2+c^2\leq2(ab+bc+ac)\)
2.CMR: \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\geq-1\)
3.CMR:\(a^4+b^4+c^4\geq abc( a+b+c)\)
1. Không có dấu "=" em nhé.
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì:
$a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac$
$b< a+c\Rightarrow b^2< ba+bc$
$c< a+b\Rightarrow c^2< ca+cb$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$
Ta có đpcm.
2.
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+4+2)$
$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)$
$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)+1-1$
$=(x^2-5x+5)^2-1\geq 0-1=-1$ do $(x^2-5x+5)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy ta có đpcm.
3.
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^4+b^4\geq 2a^2b^2$
$b^4+c^4\geq 2b^2c^2$
$c^4+a^4\geq 2c^2a^2$
Cộng theo vế và thu gọn thì:
$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(*)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2b^2+b^2c^2\geq 2|ab^2c|\geq 2ab^2c$
$b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2$
$a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 3 cmr
a/ (a+b)^2=(a-b)^2+4ab
b/ ,(a-b)^2=(a+b)^2-4ab
c/ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
d/ a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)
e/(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax-by)^2+(ay+bx)^2
b)(a-b)^2
=a^2 -2ab+b^2
=a^2 +2ab+b^2 -4ab
=(a+b)^2 - 4ab
a)(a+b)^2
=a^2 +2ab+b^2
=a^2 -2ab+b^2 +4ab
=(a-b)^2 + 4ab
c)a^3+b^3
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^2)-(3a^2b+3ab^2)
=(a+b)^3-3ab(a+b)
d)a^3-b^3
=(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)+(3a^2b-3ab^2)
=(a-b)^3+3ab(a-b)
e)(a^2+b^2)(x^2+y^2)
=(a.x)^2+(b.x)^2+(a.y)^2+(b.y)^2
=((a.x)^2-2abxy+(b.y)^2)+((a.y)^2-2abxy+(b.x)^2)
=(ax-by)^2+(ay+bx)^2
l-ike giùm mik vs công sức cả buổi đấy
Bài 3: Cho a; b; c là ba cạnh của 1 tam giác .CMR:
(a+b+c)^2+(a-b+c)^2>4b^2
ta có a+c>b suy ra (a+b+c)^2>4b^2 suy ra (a+b+c)^2+(a-b+c)^2>(a+b+c)^2>4b^2
Bài 1: Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a+b+c = 9. CMR a=b=c=3
Bài 2: Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a+b+c). CMR a=b=c=1
Bài 3: Cho (a+b+c)2 = 3(a+b+c). CMR a=b=c
Bài 4: Cho (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 = (a+b-2c)2 + (b+c-2a)2 + (c+a-2b)2. CMR a=b=c
B1:a2+b2+c2=ab+bc+ac tương đương 2(a2+b2+c2) - 2(ab+bc+ac) =0
suy ra 2a2 +2b2 +2c2 -2ab-2bc-2ac=0
suy ra (a2 -2ab+b2) +(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0
suy ra (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 suy ra (a-b)2=0 tương đương a-b=0 suy ra a=b (1)
(b-c)2=0 tương đương b-c=0 suy ra b=c (2)
(a-c)2 =0 tương đương a-c=0 suy ra b=c (3)
từ (1);(2);(3)suy ra a=b=c.Mà a=b=c=9 suy ra a=b=c=3(đpcm)
bai 1 : ve trai : a2 + b2 + c2 = a.a + b.b + c.c = (a.b) + (b.c) +(c.a) = ab + bc +ca = ve phai
ma a+b+c=9 suy ra : 3+3+3=9 suy ra a ;b;c deu bang 3
vi ve trai = ve phai ma a ;b ;c =3 vay dang thuc duoc chung minh