a) Ta có: m^3-m = m(m^2-1^2) = m.(m+1)(m-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

 => m(m+1)(m-1) chia hết cho 3 và 2

Mà (3,2) = 1

=> m(m+1)(m-1) chia hết cho 6

=> m^3 - m  chia hết cho 6  V m thuộc Z

b) Ta có: (2n-1)-2n+1 = 2n-1-2n+1 = 0-1+1 = 0 luôn chia hết cho 8

=> (2n-1)-2n+1 luôn chia hết cho 8 V n thuộc Z

Tick nha pham thuy trang

a, m³ - m = m( m² - 1²) = m(m - 1 ) ( m + 1) => 3 số nguyên liên tiếp : hết cho 6

mk chỉ biết có thế thôi

công thanh sai rồi số nguyên chứ đâu phải số tự nhiên

ta có 

\(\left(2n-1\right)^3-2n-1\)

\(=2n.\left(2n-2\right).\left(2n-2\right)\)

\(=8n.\left(n-1\right)^2⋮8\)

\(\left(2n+1\right)^3-(2n+1)\)

\(=\left(2n-2\right)\left(2n-2\right)2n\)

\(=8n\left(n-1\right)^2⋮8\)

a)  \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)\(⋮\)\(5\)

b)  \(\left(n-1\right)\left(3-2n\right)-n\left(n+5\right)\)

\(=3n-2n^2-3+2n-n^2-5n\)

\(=-3n^2-3\)

\(=-3\left(n^2+1\right)\)\(⋮\)\(3\)

a) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12.2n\)

\(=24n\)

Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n

=> (n + 6)² - (n - 6)² chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)

b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

Thay n = 2k + 1 vào ta được

\(\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)\)

\(=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp

=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2

=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )

c) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\left(2n+2\right)\)

\(=4.2\left(n+1\right)\)

\(=8\left(n+1\right)\)

Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n

=> (n + 3)² - (n - 1)² chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )

a) Ta có (n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5) 

= n² - 1 - (n² - 12n + 35)

= n² - 1 - n² + 12n - 35

= 12n - 36 = 12(n - 3) \(⋮12\forall n\inℤ\)

b) Ta có n(2n - 3) - 2n(n + 2) 

= 2n² - 3n - 2n² - 2n 

= - 5n \(⋮5\forall n\inℤ\)

     n^2.(n+1) + 2n.(n+1)

=(n+1). (n^2 + 2n)

= (n+1).n.(n+2) chia hết cho 6 (tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6)

n².(n + 1) + 2n.(n + 1) = (n² + 2n)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

Vì n(n + )(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3.

=> Tích n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3.

Mà (2,3) = 1

=> n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6

=> n².(n+1)+2n.(n+1) chia hết cho 6

\(\left(2n+1\right)\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1\)

\(=2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)

\(=-5n^2-5n=-5n\left(n+1\right)\)

Vì n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n+1) chia hết cho 2 \(=>-5n\left(n+1\right)⋮10\)

Vậy (2n+1)(n^2-3n-1)-2n^3+1 chia hết cho 10 với mọi n đều thuộc Z