a) Để chứng minh tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AMB + góc AFB = 180 độ.

Góc AMB là góc giữa đường chéo BD và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường chéo BD cắt AE tại M, nên góc AMB chính là góc EAM.

Góc AFB là góc giữa đường thẳng EF và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường thẳng EF song song với cạnh AB, nên góc AFB bằng góc EAF.

Theo đề bài, góc EAF + 45 độ = 180 độ. Do đó, góc EAF = 180 - 45 = 135 độ.

Vậy, ta có góc AMB + góc AFB = góc EAM + góc EAF = 135 độ + 135 độ = 270 độ = 180 độ.

Vì tổng hai góc AMB và AFB bằng 180 độ, nên tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp.

b) Khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, ta cần chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Gọi O là giao điểm của đường chéo BD và đường thẳng EF. Ta cần chứng minh rằng O nằm trên một đường tròn cố định khi E và F di động.

Vì góc EAF + 45 độ = 180 độ, nên góc EAF = 135 độ. Điều này có nghĩa là tam giác EAF là tam giác cân tại A.

Do đó, đường trung tuyến MN của tam giác EAF là đường cao và đường trung trực của cạnh EF. Vì M và N lần lượt là giao điểm của đường trung tuyến MN với AE và AF, nên M và N là trung điểm của AE và AF.

Vì M và N là trung điểm của hai cạnh của hình vuông ABCD, nên OM và ON là đường trung trực của AB và AD. Do đó, O nằm trên đường trung trực của cạnh AB và AD.

Vì AB và AD là hai cạnh cố định của hình vuông ABCD, nên đường trung trực của AB và AD là đường thẳng cố định. Vậy, O nằm trên một đường tròn cố định.

Vì vậy, khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

a.

Xét hai tam giác vuông ABE và ADH:

\(AD=AB\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAH}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))

\(\Rightarrow\Delta_vABE=\Delta_vADH\) (góc nhọn-cạnh góc vuông) (1)

\(\Rightarrow AH=AE\)

\(\Rightarrow\Delta AHE\) vuông cân tại A

b. Cũng từ (1) ta có \(BE=DH\)

Xét hai tam giác vuông ABE và FDA có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{AFD}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta_vABE\sim\Delta_vFDA\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{BE}{AD}\Rightarrow AB.AD=BE.DF\Rightarrow AB^2=HD.DF\) (do AD=AB và BE=HD)

c. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AH.AF\\S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AD.HF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AH.AF=AD.HF\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{HF}{AH.AF}\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{HF^2}{AH^2.AF^2}=\dfrac{AH^2+AF^2}{AH^2.AF^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (do AH=AE theo chứng minh câu a)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{a^2}\) cố định (đpcm)

a) Xét tam giác OEB và tam giác OMC có:

  góc OBE = góc OCM (t/c đường chéo hv)

  OC = OB ( nt)

  EB = MC (gt)

  Vậy tam giác OEB = tam giác OMC (c-g-c)

=> EO = MO (1) và góc EOB = góc MOC

                        mà góc BOC = góc BOM + góc MOC = 90 độ

                     => góc EOM = góc EOB + góc BOM = 90 độ (2)

Từ (1),(2) => tam giác OEM vuông cân

b) Ta có: AB//CN (N thuộc DC)

ÁP dụng định lí Ta - let tá được:

 AM/MN= BM/MC mà BM=AE và MC=BE (gt)

=> AM/MN = AE/BE

=> EM//BN (đ/l Ta - let đảo)

Phần còn lại mình còn đang suy nghĩ.