n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n-1)(n+1)(n² + 1)

Vì n(n-1)(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liêp tiếp

=> n(n-1)(n+1) \(⋮\)3 => n(n-1)(n+1)(n² + 1)\(⋮\)3

Hay \(n^5-n⋮3\)

ta có: M=n^3+3n^2+2n=2n(n+1)+n^2(n+1)=n(n+1)(n+2)

ta thấy n(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại 1 số chia hết cho 2(vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp) (với n thuộc Z)

tồn tại 1 số chia hết cho 3( vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp)

=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 2.3(vì (2;3)=1)

=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

=>n^3+3n^2+2n chia hết cho 6

có chỗ nào ko hiểu thì hỏi mk nhé

chia hết cho bao nhiêu???

pạn ghi thiếu đề thì giải thế nào ?

Bn tham khảo tại đây nha:

https://hoc247.net/hoi-dap/toan-8/chung-minh-n-5-n-chia-het-cho-30-faq417269.html

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp 

nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

Vì \(n^5-n⋮5\)

mà \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮6\)

nên \(n^5-n⋮30\)

Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)

Mà 24 chia hết cho 3 và 8 nên n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 3 và 8

n³ - n

= n ( n² - 1)

= ( n - 1 ) n (n + 1)

Đây la tích ba số nguyen liên tiep nen chia het cho 6 voi moi so nguyen n

Nhớ ủg hộ mk nha pn

n^5-n= (n-1)n(n+1)(n^2+1)

(n-1)n(n+1) tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3(1)

(n-1)n tích 2 ssoo tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2(2)

còn n^5 và có cùng chữ số tận cuunfg nên hiệu có chữ sô tận cùng là 0 chia hết cho 5(3)

từ (1)(2)(3) => chia hết cho 30

Xét \(4P=4x^2+4xy+4y^2-12x-12y+12\)

\(=\left[\left(2x\right)^2+2.2x.y+y^2\right]-6\left(2x+y\right)+9+3y^2-6y+3\)

\(=\left(2x+y-3\right)^2+3\left(y-1\right)^2\ge0\)

Suy ra \(P\ge0\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x+y-3=0\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)

Ta quy đồng :

\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) (đpcm)