Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE
Do đó: ΔABD=ΔACE

Suy ra: AD=AE

Xét ΔDMB vuông tại M và ΔENC vuông tại N có

DB=EC

\(\widehat{D}=\widehat{E}\)

Do đó: ΔDMB=ΔENC

Suy ra: \(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\)

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

hay O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có:AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO⊥BC

=>AO⊥DE

Ta có: ΔADE cân tại A

mà AO là đường cao

nên AO là phân giác

Chứng minh :
a) Có △ABC cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\left(t\text{/c }t\text{/g cân}\right)\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(t\text{/c t/g cân}\right)\)
Xét △BEC vuông tại E và △CDB vuông tại D có:
BC - cạnh chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
⇒ △BEC = △CDB ( cạnh huyền - góc nhọn )
⇒ EC = DB ( tương ứng )
b) Xét △AEC vuông tại E và △ADB vuông tại D có:
EC = DB ( cmt )
AC = AB ( cmt )
⇒ △AEC = △ADB ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )
⇒ AE = AD ( tương ứng )
*) Có AC + CN = AN
AB + BM = AM
Mà AC = AB ( cmt ) ; CN = BM ( gt )
⇒ AN = AM
Xét △ANE và △AMD có:
AN = AM ( cmt )
\(\widehat{BAC}-góc\text{ }chung\)
AE = AD ( cmt )
⇒ △ANE = △AMD (c.g.c)
⇒ NE = MD ( tương ứng )
Xét △ECN và △DBM có:
EC = DB ( cmt )
CN = BM ( gt )
EN = DM ( cmt )
⇒ △ECN = △DBM (c.c.c)
c) Có AE = AD ( cmt )
⇒ △AED cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\)(1)
Có AN = AM ( cmt )
⇒ △AMN cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AMN}\)
Mà \(\widehat{AED}\text{ và }\widehat{AMN}\) là hai góc đồng vị
\(\Rightarrow ED\text{//}MN\) ( dấu hiệu nhận biết )

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AMN}=\widehat{AED}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó : \(ED//MN\left(đpcm\right)\)

a) Xét tam giác BEC và tam giác CDB ,có :

BC : chung

góc BEC = góc CDB ( = 90^o )

góc EBC = góc DCB ( gt )

=> tam giác BEC = tam giác CDB ( ch - gn )

Vậy tam giác BEC = tam giác CDB ( ch - gn )

b) Xét tam giác AEC và tam giác ADB, có :

AC = AB ( gt )

góc A : chung

góc AEC = góc ADB ( = 90^o )

=> tam giác AEC = tam giác ADB ( ch - gn )

=> góc ACE = góc ABD ( hai góc tương ứng )

Ta có : góc ACE + góc ECN = 180^o ; góc ABD + góc DBM = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc ACE = góc ABD ( chứng minh trên ) => góc ECN = góc DBM

Xét tam giác ECN và tam giác DBM ,có :

CN = BM ( gt )

CE = BD ( tam giác BEC = tam giác CDB )

góc ECN = góc DBM (chứng minh trên )

=> tam giác ECN = tam giác DBM ( c-g-c )

Vậy tam giác ECN = tam giác DBM ( c-g-c )

c) Vì tam giác AEC = tam giác ADB ( chứng minh trên ) => AE = AD ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác AED cân tại A ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác AED cân tại A => góc AED = góc ADE ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc AED + góc ADE = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc AED = góc ADE = 180^o - góc A / 2 ( 1 )

Ta có : AB + BM = AM ; AC + CN = AN mà AB = AC ; BM = CN ( gt ) => AM = AN => tam giác AMN cân tại A

Xét tam giác AMN cân tại A => góc AMN = góc ANM ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc AMN + góc ANM = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc AMN = góc ANM = 180^o - góc A / 2 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc AED = góc AMN mà hai góc ở vị trí đồng vị nên ED // MN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

Vậ ED // MN ( đpcm )

a: Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

Do đó; ΔEBC=ΔDCB

b: Xét ΔECN và ΔDBM có

EC=DB

\(\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\)

CN=BM

Do đó: ΔECN=ΔDBM

c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC

nên DE//BC(1)

Xét ΔAMN có AB/BM=AC/CN

nên BC//NM(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE//MN

$BH, CK$ cùng vuông góc với $AN$ thì nó song song nhau. Như vậy thì $BH, CK$ làm sao giao nhau tại $O$ được?

Lời giải:

a. Vì $BA=BM$ nên tam giác $MBA$ cân tại $B$. Khi đó, đường cao $BH$ đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow H$ là trung điểm $AM$.

Tam giác $MOA$ có $OH$ đồng thời là đường cao đồng thời là trung tuyến (do $H$ là trung điểm $AM$) nên đây là tam giác cân tại $O$

$\Rightarrow OM=OA(1)$

Hoàn toàn tương tự, ta cm được $\triangle OAN$ cân tại $O$

$\Rightarrow ON=OA(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow OM=ON$ nên $O$ nằm trên đường trung trực của $MN$

b.

Vì $OAM$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{OMA}(3)$

Vì $BMA$ cân tại $B$

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BMA}(4)$

Lấy $(3)-(4)$ thì $\widehat{OAB}=\widehat{OMB}(*)$

Tương tự: $\widehat{OAC}=\widehat{ONC}(**)$

Vì $OM=ON$ nên $OMN$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{ONC}(***)$

Từ $(*); (**); (***)\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OAC}$

$\Rightarrow OA$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Hình vẽ:

1)

+)  Ta thấy \(\widehat{ECI}=\widehat{ACB}\)  (Hai góc đối đỉnh)

Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)   (Tam giác ABC cân tại A)

nên \(\widehat{ECI}=\widehat{DBA}\)

Xét tam giác ABD và tam giác ICE có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{DBA}=\widehat{ECI}\left(cmt\right)\)

CI = BA ( Cùng bằng AC)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ICE\left(c-g-c\right)\)

+) Xét tam giác AEI, theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:

   AI > AE + EI

Lại có do \(\Delta ABD=\Delta ICE\Rightarrow AD=IE\)

Vậy nên ta có AI > AE + AD \(\Rightarrow2AC>AD+AE\Rightarrow AB+AC>AD+AE\)

2) Do \(\Delta ABD=\Delta ICE\Rightarrow\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)

Vậy thì ta thấy ngay \(\Delta BDM=\Delta CEN\)   (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

\(\Rightarrow BM=CN\)

3) Ta thấy AB + AC = AM + MB + AC = AM + CN + AC = AM  + AN

Ta cần chứng minh BC < MN.

Do BD = EC nên AC = DE

Xét tam giác vuông MDO ta có DO < MO (Quan hệ đường vuông góc, đường xiên)

Ta cũng có OE < ON

Vậy nên DE < MN hay BC < MN

Từ đó: AB + AC + BC < AM + AN + MN

Hay \(P_{AMN}>P_{ABC}\) 

1, a, Xét tam giác ABD và ICE có : 

BD=CE

AB=CI ( =AC )

góc ABD=ICE ( vì góc ABD=ACD mà ACD=ICE )

=> tam giác ABD=ICE ( c.g.c ) 

1, b ta có : AB=CI và EI=AD ( theo câu a, )

=> AB+AC=AC+CI=AI 

AD+AE=AE+EI 
Theo bđt trong tam giác AIE có : AE+EI>AI

<=> AB+AC<AD+AE