Question

Cho ΔABC cân tại A. Kẻ BD⊥AC tại D.Kẻ CE⊥AB tại E. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM=CN
a)Chứng minh ΔBEC=ΔCDB
b)Chứng minh ΔECN=ΔDBM
c)Chứng tỏ ED//MN

Answer 1

Chứng minh :
a) Có △ABC cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\left(t\text{/c }t\text{/g cân}\right)\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(t\text{/c t/g cân}\right)\)
Xét △BEC vuông tại E và △CDB vuông tại D có:
BC - cạnh chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
⇒ △BEC = △CDB ( cạnh huyền - góc nhọn )
⇒ EC = DB ( tương ứng )
b) Xét △AEC vuông tại E và △ADB vuông tại D có:
EC = DB ( cmt )
AC = AB ( cmt )
⇒ △AEC = △ADB ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )
⇒ AE = AD ( tương ứng )
*) Có AC + CN = AN
AB + BM = AM
Mà AC = AB ( cmt ) ; CN = BM ( gt )
⇒ AN = AM
Xét △ANE và △AMD có:
AN = AM ( cmt )
\(\widehat{BAC}-góc\text{ }chung\)
AE = AD ( cmt )
⇒ △ANE = △AMD (c.g.c)
⇒ NE = MD ( tương ứng )
Xét △ECN và △DBM có:
EC = DB ( cmt )
CN = BM ( gt )
EN = DM ( cmt )
⇒ △ECN = △DBM (c.c.c)
c) Có AE = AD ( cmt )
⇒ △AED cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\)(1)
Có AN = AM ( cmt )
⇒ △AMN cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AMN}\)
Mà \(\widehat{AED}\text{ và }\widehat{AMN}\) là hai góc đồng vị
\(\Rightarrow ED\text{//}MN\) ( dấu hiệu nhận biết )

Answer 2

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AMN}=\widehat{AED}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó : \(ED//MN\left(đpcm\right)\)

Answer 3

a) Xét tam giác BEC và tam giác CDB ,có :

BC : chung

góc BEC = góc CDB ( = 90^o )

góc EBC = góc DCB ( gt )

=> tam giác BEC = tam giác CDB ( ch - gn )

Vậy tam giác BEC = tam giác CDB ( ch - gn )

b) Xét tam giác AEC và tam giác ADB, có :

AC = AB ( gt )

góc A : chung

góc AEC = góc ADB ( = 90^o )

=> tam giác AEC = tam giác ADB ( ch - gn )

=> góc ACE = góc ABD ( hai góc tương ứng )

Ta có : góc ACE + góc ECN = 180^o ; góc ABD + góc DBM = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc ACE = góc ABD ( chứng minh trên ) => góc ECN = góc DBM

Xét tam giác ECN và tam giác DBM ,có :

CN = BM ( gt )

CE = BD ( tam giác BEC = tam giác CDB )

góc ECN = góc DBM (chứng minh trên )

=> tam giác ECN = tam giác DBM ( c-g-c )

Vậy tam giác ECN = tam giác DBM ( c-g-c )

c) Vì tam giác AEC = tam giác ADB ( chứng minh trên ) => AE = AD ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác AED cân tại A ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác AED cân tại A => góc AED = góc ADE ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc AED + góc ADE = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc AED = góc ADE = 180^o - góc A / 2 ( 1 )

Ta có : AB + BM = AM ; AC + CN = AN mà AB = AC ; BM = CN ( gt ) => AM = AN => tam giác AMN cân tại A

Xét tam giác AMN cân tại A => góc AMN = góc ANM ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc AMN + góc ANM = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc AMN = góc ANM = 180^o - góc A / 2 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc AED = góc AMN mà hai góc ở vị trí đồng vị nên ED // MN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

Vậ ED // MN ( đpcm )