Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh: MA^2+MB^2+MC^2+MD^2>=2
Những câu hỏi liên quan
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh: MA^2+MB^2+MC^2+MD^2>=2
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ trong hình vuông đó. Chứng minh rằng MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 >=2
Lời giải:
Qua $M$ kẻ $EF\perp AB, CD$ với $E\in AB, F\in DC$
Dễ thấy $AEFD$ và $EBCF$ là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.
Do đó $AE=DF; EB=CF; EF=AD=BC$
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AE^2+EM^2+EB^2+EM^2+CF^2+MF^2+DF^2+MF^2\)
\(=(AE^2+DF^2)+(EB^2+CF^2)+2EM^2+2FM^2\)
\(=2AE^2+2BE^2+2EM^2+2MF^2=2[(AE^2+BE^2)+(EM^2+MF^2)]\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2(AE^2+BE^2)+2(EM^2+MF^2)\geq (AE+BE)^2+(MF+EM)^2\)
\(=AB^2+EF^2=AB^2+AD^2=2\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $M$ là tâm hình vuông.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng căn bậc 2 của 8. M là điểm bất kì trong hình vuông. tìm gtnn (ma+mb+mc+md)
các cao thủ vào giúp mình đi nhé
cho M là một điểm bất kì nằm trong tam giác vuông ABCD có cạnh là 1
a , c/m : MA2 + MB2 + MC2 + MD2 > hoặc bằng 2
b , xét điểm M nằm trên đường chéo AC , kẻ MN vuông góc với AB tại N gọi O là trung điểm của AM . Cm : CN2 = 2 OB2
a/ Ta có:
\(MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\ge\frac{\left(MA+MC\right)^2}{2}+\frac{\left(MB+MD\right)^2}{2}\ge\frac{AC^2}{2}+\frac{BD^2}{2}=2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1) cho hình chữ nhật ABCD và 1 điểm M nằm bên trong hình chữ nhật
chứng minh: MA^2+MC^ =MB^2+MD^2
Bài 2) cho hình tam giác ABC vuông tại A(AB<AC). Vẽ AH vuông góc BC tại H; d là điểm rên cạnh AC sao cho AD=AB
Vẽ DE vuông góc BC tại E.
chứng minh: HA=HE
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và điểm M nằm trong hình vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)
Cho hình chữ nhật ABCD , M là điểm bất kì trong hình chữ nhật ABCD . Chứng minh rằng MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2
vẽ hình giùm mình với nha giải dc sẽ like
Cho tam giác ABC, điểm M bất kì nằm trong tam giác.a) So sánh MB + MC với BC.b) Chứng minh 2(MA + MB + MC) AB + BC + CA.c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. So sánh MC và MI + IC, từ đó chứng minh MB + MC IB + ICd) So sánh IB và IA + AB, từ đó chứng minh IB + IC AB + ACe) Chứng minh MB + MC AB + ACf) Chứng minh MA + MB + MC AB + BC + AC
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC, điểm M bất kì nằm trong tam giác.
a) So sánh MB + MC với BC.
b) Chứng minh 2(MA + MB + MC) > AB + BC + CA.
c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. So sánh MC và MI + IC, từ đó chứng minh MB + MC < IB + IC
d) So sánh IB và IA + AB, từ đó chứng minh IB + IC < AB + AC
e) Chứng minh MB + MC < AB + AC
f) Chứng minh MA + MB + MC < AB + BC + AC
c)Gọi I là giao điểm của BM và AC.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIMC ta có: MC<MI+IC (1)
Cộng MB vào hai vế (1) ta được: MC+MB<MI+IC+MB
⇒MC+MB<MI+MB+IC
⇒MC+MB<IB+IC (2)
d)Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIBA ta có: IB<IA+AB (3)
Cộng IC vào hai vế (3) ta được: IB+IC<IA+AB+IC
⇒ IB+IC<IA+IC+AB
⇒IB+IC<AC+AB (4)
e)Từ (2) và (4) suy ra MB+MC<AB+AC
f)Áp dụng bđt tam giác, ta có:
AB+AI > BI = MB+MI, CI + MI > MC
=> AB + AI + CI + MI > MB + MI + MC
Mà AI + CI = AC
=> AB + AC > MB + MC [1]
Áp dụng bđt tam giác, ta cũng có:
BA + BC > MA + MC [2],
CA + CB > MA + MB [3]
Từ [1][2][3] => 2 (AB+AC+CA) > MA + MB + MC
=> MA + MB + MC < AB + AC + BC (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) Xét ΔBMC ta có: MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác)
b)
*Xét ΔABM ta có: AM + BM > AB (1)
*Xét ΔACM ta có: AM + CM > AC (2)
*Xét ΔBMC ta có: BM + CM > BC (3)
Từ (1); (2); (3)
=> AM + BM + AM + CM + BM + CM > AB + AC + BC
=> 2. AM + 2. BM + 2. CM > AB + AC + BC
=> 2. (AM + BM + CM) > AB + AC + BC
Hay: 2. (MA + MB + MC) > AB + BC + CA
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC, điểm M bất kì nằm trong tam giác.a) So sánh MB + MC với BC.b) Chứng minh 2(MA + MB + MC) AB + BC + CA.c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. So sánh MC và MI + IC, từ đó chứng minh MB + MC IB + ICd) So sánh IB và IA + AB, từ đó chứng minh IB + IC AB + ACe) Chứng minh MB + MC AB + ACf) Chứng minh MA + MB + MC AB + BC + AC
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC, điểm M bất kì nằm trong tam giác.
a) So sánh MB + MC với BC.
b) Chứng minh 2(MA + MB + MC) > AB + BC + CA.
c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. So sánh MC và MI + IC, từ đó chứng minh MB + MC < IB + IC
d) So sánh IB và IA + AB, từ đó chứng minh IB + IC < AB + AC
e) Chứng minh MB + MC < AB + AC
f) Chứng minh MA + MB + MC < AB + BC + AC
a) Xét ΔBMC ta có: MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác)
b)
*Xét ΔABM ta có: AM + BM > AB (1)
*Xét ΔACM ta có: AM + CM > AC (2)
*Xét ΔBMC ta có: BM + CM > BC (3)
Từ (1); (2); (3)
=> AM + BM + AM + CM + BM + CM > AB + AC + BC
=> 2. AM + 2. BM + 2. CM > AB + AC + BC
=> 2. (AM + BM + CM) > AB + AC + BC
Hay: 2. (MA + MB + MC) > AB + BC + CA
c)Gọi I là giao điểm của BM và AC.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIMC ta có: MC<MI+IC (1)
Cộng MB vào hai vế (1) ta được: MC+MB<MI+IC+MB
⇒MC+MB<MI+MB+IC
⇒MC+MB<IB+IC (2)
d)Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIBA ta có: IB<IA+AB (3)
Cộng IC vào hai vế (3) ta được: IB+IC<IA+AB+IC
⇒ IB+IC<IA+IC+AB
⇒IB+IC<AC+AB (4)
e)Từ (2) và (4) suy ra MB+MC<AB+AC
f)Áp dụng bđt tam giác, ta có:
AB+AI > BI = MB+MI, CI + MI > MC
=> AB + AI + CI + MI > MB + MI + MC
Mà AI + CI = AC
=> AB + AC > MB + MC [1]
Áp dụng bđt tam giác, ta cũng có:
BA + BC > MA + MC [2],
CA + CB > MA + MB [3]
Từ [1][2][3] => 2 (AB+AC+CA) > MA + MB + MC
=> MA + MB + MC < AB + AC + BC (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)