Bài 12: Hình vuông

Quan Hong Van

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ trong hình vuông đó. Chứng minh rằng MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 >=2

Akai Haruma
31 tháng 12 2020 lúc 15:13

Lời giải:

Qua $M$ kẻ $EF\perp AB, CD$ với $E\in AB, F\in DC$

Dễ thấy $AEFD$ và $EBCF$ là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.

Do đó $AE=DF; EB=CF; EF=AD=BC$

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AE^2+EM^2+EB^2+EM^2+CF^2+MF^2+DF^2+MF^2\)

\(=(AE^2+DF^2)+(EB^2+CF^2)+2EM^2+2FM^2\)

\(=2AE^2+2BE^2+2EM^2+2MF^2=2[(AE^2+BE^2)+(EM^2+MF^2)]\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2(AE^2+BE^2)+2(EM^2+MF^2)\geq (AE+BE)^2+(MF+EM)^2\)

\(=AB^2+EF^2=AB^2+AD^2=2\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $M$ là tâm hình vuông.

Bình luận (0)
Akai Haruma
31 tháng 12 2020 lúc 15:15

Hình vẽ:

undefined

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
[MINT HANOUE]
Xem chi tiết
tùng nguyễn
Xem chi tiết
Ng Quacwe
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Châu
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Lê Nguyễn Quỳnh Chi
Xem chi tiết
Trần Gia Linh
Xem chi tiết
hong ngo thi
Xem chi tiết
Nguyễn Hải Nam
Xem chi tiết