Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(A=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(MinA=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Tôi bổ sung đề bài : Cho x,y,z >0 và x+y+z=1 tìm min của x^2(y+z)/yz + y^2(x+z)/xz + z^2(x+y)/xy?

                                  BĐT cô si: x²/z + z ≥ 2x và x²/y + y ≥ 2x => x²/z + x²/y + z+y ≥ 4x 
                                  => x²(y+z)/yz + y+z ≥ 4x 
                                  tương tự: y²(x+z)/xz + x+z ≥ 4y 
                                  và z²(x+y)/xy + x+y ≥ 4z 
                                  
                                  cộng lại hết: x²(y+z)/yz + y²(x+z)/xz + z²(x+y)/xy + 2(x+y+z) ≥ 4(x+y+z) 
                                  => x²(y+z)/yz + y²(x+z)/xz + z²(x+y)/xy ≥ 2(x+y+z) = 2 
                                  min = 2, đạt khi x = y = z = 1/3 
                                                                                         ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 

Bổ sung chi vậy bn

Có; \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+xz+yz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{3}{2}\)

Vậy Min A=3/2

Áp dụng BĐT : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) với a,b,c > 0

đặt a = y + z ; b = x + z ; c = x + y  ta được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

hay \(2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}\right)\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\ge4,5\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge1,5\)

Vậy min A = 1,5 \(\Leftrightarrow\)x = y = z

bài 1 : a,ta có 3/x-1 =4/y-2=5/z-3 =>  x-1/3=y-2/4=z-3/5 

áp dụng .... => x-1+y-2+z-3 / 3+4+5 = x+y+z-1-2-3/3+4+5 = 12/12=1

do x-1/3 = 1 => x-1 = 3 => x= 4 ( tìm y,z tương tự

Bài 1: 

a) Ta có: 3/x - 1 = 4/y - 2 = 5/z - 3 => x - 1/3 = y - 2/4 = z - 3/5 áp dụng ... =>x - 1 + y - 2 + z - 3/3 + 4 + 5 = x + y + z - 1 - 2 - 3/3 + 4 + 5 = 12/12 = 1 do x - 1/3 = 1 => x - 1 = 3 => x = 4 ( tìm y, z tương tự )

cũng dễ thôi

nếu khó nhìn để mik đánh lại

Ta có:\(A=\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{yz}{y+z}+\dfrac{zx}{z+x}\)

             \(=\dfrac{x\left(x+y\right)-x^2}{x+y}+\dfrac{y\left(y+z\right)-y^2}{y+z}+\dfrac{z\left(z+x\right)-z^2}{z+x}\)

             \(=\left(x+y+z\right)-\left(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\right)\)

Ta có:\(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{x+y}.\dfrac{x+y}{9}}=\dfrac{2x}{3}\)

Tương tự,ta có:\(\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{9}\ge\dfrac{2y}{3};\dfrac{z^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{9}\ge\dfrac{2z}{3}\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{4}=\dfrac{2.9}{3}-\dfrac{9}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow A\le9-\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=3

Vậy,Max A=\(\dfrac{15}{2}\) ⇔ x=y=z=3

x+y = z+t = t+a =2

nên x+y+z+t+a = 4+a = 0 nên a = -4

mà a+t=2 nên t=6

z+t=2 nên z=-4

thay a=-4, t=6 và z=-4 ta có

x+y+-4+6+-4=0 hay x+y=2 (gt)

Vậy a=z=-4

       t=6

       x,y thuộc R và thỏa mãn x+y=2

bài 2: (x-3).(y+2) = -5

    Vì x, y \(\in\)Z   => x-3 \(\in\)Ư(-5) = {5;-5;1;-1}

Ta có bảng: 

bài 3: a(a+2)<0

TH1 : \(\orbr{\begin{cases}a< 0\\a+2>0\end{cases}}\)=>\(\orbr{\begin{cases}a< 0\\a>-2\end{cases}}\)=> -2<a<0 ( TM)

TH2: \(\orbr{\begin{cases}a>0\\a+2< 0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a>0\\a< -2\end{cases}}\Rightarrow loại\)
 

           Vậy -2<a<0

Bài 5: \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)< 0\)

TH 1 : \(\hept{\begin{cases}x^2-1>0\\x^2-4< 0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2>1\\x^2< 4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x< 2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)1 < a < 2

TH 2: \(\hept{\begin{cases}x^2-1< 0\\x^2-4>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2< 1\\x^2>4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x>2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)loại

                         Vậy 1<a<2