Ta có : S = 1.2 + 3.4 + 5.6 +.....+ (2n - 1).2n

=> 3S = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + ..... + (2n - 1)2n(2n + 1)

=> 3S = (2n - 1)2n(2n + 1)

=> 3S = 2n(2n² - 1)

=> 3S = 4n³ - 2n

=> S = \(\frac{4n^3-2n}{3}\)

1. 3S= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>S 

Biểu thức này dùng để tính tổng 1^2+..+n^2 rất tiện và thực tế cũng là ket quả của hệ quả trên. 
dùng cách thức tương tự có thể tính S=1.2.3+...+ n(n+1)(n+2) từ đó suy ra tổng 1^3+...+n^3 
Việc sử dụng trước kết quả tổng 1^2+...+n^2 theo tôi là ngược tiến trình.

2. S = 1.2.3 + 2.3.4 +..+ (n-1).n.(n+1) 

4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +..+ (n-1)n(n+1).4 

ghi dọc cho dễ nhìn: 
(k-1)k(k+1).4 = (k-1)k(k+1)[(k+2) - (k-2)] = (k-1)k(k+1)(k+2) - (k-2)(k-1)k(k+1) 
ad cho k chạy từ 2 đến n ta có: 
1.2.3.4 = 1.2.3.4 
2.3.4.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4 
3.4.5.4 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5 
... 
(n-2)(n-1)n.4 = (n-2)(n-1)n(n+1) - (n-3)(n-2)(n-1)n 
(n-1)n(n+1).4 = (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1) 
+ + cộng lại vế theo vế + + (chú ý cơ chế rút gọn) 
4S = (n-1)n(n+1)(n+2) 

3. 

Ta có : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100

=> 3S = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + .... + 99.100.101

=> 3S = 99.100.101

=> S = \(\frac{99.100.101}{3}=333300\)

ta xét

\(S\left(n\right)=1.2+2.3+..+n\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow3S\left(n\right)=1.2.3+2.3.3+..+3.n.\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3S\left(n\right)=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+..+n\left(n-1\right)\left(n+1-\left(n-2\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow3S\left(n\right)=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+..+n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

\(\Leftrightarrow3S\left(n\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\Rightarrow S\left(n\right)=\frac{n\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{3}\)

Áp dụng ta có \(S\left(100\right)=\frac{99.100.101}{3}=333300\)

a)

*\(1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\)

Số số hạng là:

\(\left(n-1\right):1+1=n-1+1=n\)(số hạng)

Tổng của dãy số là: 

\(\left(n+1\right)\cdot\dfrac{n}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

*\(1+3+5+...+\left(2n-1\right)\)

Số số hạng của dãy số là: 

\(\left(2n-1-1\right):2+1=\dfrac{\left(2n-2\right)}{2}+1=n-1+1=n\)(số hạng)

Tổng của dãy số là: 

\(\left(2n-1+1\right)\cdot\dfrac{n}{2}=\dfrac{2n^2}{2}=2n\)