1.     Giải:

Do \(5x+13B\in\left(2x+1\right)\Rightarrow5x+13⋮2x+1.\)

 \(\Rightarrow2\left(5x+13\right)⋮2x+1\Rightarrow10x+26⋮2x+1.\)

 \(\Rightarrow5\left(2x+1\right)+21⋮2x+1.\)

Do 5(2x+1)⋮2x+1⇒ Ta cần 21⋮2x+1.

⇒ 2x+1 ϵ B(21)=\(\left\{1;3;7;21\right\}.\)

Ta có bảng:

Vậy xϵ\(\left\{0;1;3;10\right\}.\)

2. Giải:

Do (2x-18).(3x+12)=0.

⇒ 2x-18=0             hoặc             3x+12=0.

⇒ 2x     =18                               3x       =-12.

⇒   x     =9                                   x       =-4.

Vậy xϵ\(\left\{-4;9\right\}.\)

3. S= 1-2-3+4+5-6-7+8+...+2021-2022-2023+2024+2025.

S= (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(2021-2022-2023+2024)+2025 Có 506 cặp.

S= 0 + 0 + ... + 0 + 2025.

⇒S= 2025.

Không biết mẫu số và x như thế nào? Bạn xem lại

\(3x^2+y^2+4xy=5x+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+x\left(4y-5\right)+\left(y^2-2y-1\right)=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số y, ta có:

\(\Delta=\left(4y-5\right)^2-3.4.\left(y^2-2y-1\right)\)

\(=16y^2-40y+25-12y^2+24y+12\)

\(=4y^2-16y+37\)

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương hay \(\Delta=4y^2-16y+37=a^2\) (a là số tự nhiên).

\(\Rightarrow4y^2-16y+16+21=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-\left(2y-4\right)^2=21\)

\(\Rightarrow\left(a-2y+4\right)\left(a+2y-4\right)=21\)

\(\Rightarrow a-2y+4;a+2y-4\) là các ước số của 21.

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với a=11, y=7. Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.7-5\right)+\sqrt{11^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.7-5\right)-\sqrt{11^2}}{6}=-\dfrac{17}{3}\left(loại\right)\)

Với \(a=5;y=3\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.3-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.3-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

Với \(a=5;y=1\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.1-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=1\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.1-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{2}{3}\left(loại\right)\)

Vậy x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên là \(x=y=1\)

Dòng 15 từ dưới đếm lên, sửa:

Với \(y< 2\Rightarrow a-2y+4>a+2y-4\) và \(a-2y+4>0\). Lập bảng:

a) \(\dfrac{2x+5}{2x+1}=\dfrac{2x+1+4}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}+\dfrac{4}{2x+1}=1+\dfrac{4}{2x+1}\)  

Để \(\dfrac{2x+5}{2x+1}\in Z\) thì \(\dfrac{4}{2x+1}\in Z\) 

\(\Rightarrow4\) ⋮ \(2x+1\)

\(\Rightarrow2x+1\inƯ\left(4\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Rightarrow2x\in\left\{0;-2;1;-3;3;-5\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{5}{2}\right\}\)

Mà x nguyên \(\Rightarrow\text{x}\in\left\{0;-1\right\}\) 

b) \(\dfrac{3x+5}{x+1}=\dfrac{3x+3+2}{x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)+2}{x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x+1}+\dfrac{2}{x+1}=3+\dfrac{2}{x+1}\) 

Để \(\dfrac{3x+5}{x+1}\in Z\) thì \(\dfrac{2}{x+1}\in Z\) 

\(\Rightarrow2\) ⋮ \(x+1\)

\(\Rightarrow x+1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\) 

c) \(\dfrac{3x+8}{x-1}=\dfrac{3x-3+11}{x-1}=\dfrac{3\left(x-1\right)+11}{x-1}=\dfrac{3\left(x-1\right)}{x-1}+\dfrac{11}{x-1}=3+\dfrac{11}{x-1}\)  

Để: \(\dfrac{3x+8}{x-1}\in Z\) thì \(\dfrac{11}{x-1}\in Z\)

\(\Rightarrow11\) ⋮ \(x-1\)

\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(11\right)=\left\{1;-1;11;-11\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{2;0;12;-10\right\}\)

d) \(\dfrac{5x+12}{x-2}=\dfrac{5x-10+22}{x-2}=\dfrac{5\left(x-2\right)+22}{x-2}=\dfrac{5\left(x-2\right)}{x-2}+\dfrac{22}{x-2}=5+\dfrac{22}{x-2}\)

Để: \(\dfrac{5x+12}{x-2}\in Z\) thì \(\dfrac{22}{x-2}\in Z\)

\(\Rightarrow22\) ⋮ \(x-2\)

\(\Rightarrow x-2\inƯ\left(22\right)=\left\{1;-1;2;-2;11;-11;22;-22\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{3;1;4;0;13;-9;24;-20\right\}\)

e) \(\dfrac{7x-12}{x+16}=\dfrac{7x+112-124}{x+16}=\dfrac{7\left(x+16\right)-124}{x+16}=\dfrac{7\left(x+16\right)}{x+16}-\dfrac{124}{x+16}=7-\dfrac{124}{x+16}\)

Để \(\dfrac{7x-12}{x+16}\in Z\) thì \(\dfrac{124}{x+16}\in Z\) 

\(\Rightarrow124\) ⋮ \(x+16\)

\(\Rightarrow x+16\inƯ\left(124\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4;31;-31;62;-62;124;-124\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-15;-17;-14;-18;-12;-20;15;-47;46;-78;108;-140\right\}\)

5x + 13 ⋮ 2x + 1

=> 5x + 2,5 + 11,5 ⋮ 2x + 1

=> 2,5(2x + 1) + 11,5 ⋮ 2x + 1

=> 11,5 ⋮ 2x + 1

=> 23 ⋮ 2x + 1

=> ...