Chia hai vế cho 5x , ta được :
\(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x+\left(\dfrac{3}{5}\right)^x=1\) (1)
+ Với x = 0 => vế trái của (1) bằng 2 (loại)
+ Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng (1) (đúng)
+ Với x \(\ge\) 2 thì :
\(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x< \dfrac{2}{5};\left(\dfrac{3}{5}\right)^x< \dfrac{3}{5}\)
Nên : \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x+\left(\dfrac{3}{5}\right)^x< \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}=1\)(loại)
Vậy x = 1
Phương trình đã cho có thể viết lại là:\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^x+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x=1\)
Ta thấy x= 2 là nghiệm của phương trình
Nếu x>2 thì\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^x+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x>1\)
+) Với x< 2 dễ thấy x= 0 và x = 1 không phải nghiệm của phương trình
+) Với x < 0 ta đặt x = -y thì y > 0 nên \(y\ge1\)
Ta có \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^x+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x=1\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-y}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-y}=1\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{3}\right)^y+\left(\dfrac{5}{4}\right)^y=1\)Phương trình này vô nghiệm vì \(\left(\dfrac{5}{4}\right)^y+\left(\dfrac{5}{3}\right)^y\ge\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{3}>1\)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là x = 2
