Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, \(\left(\alpha\right)\) cắt SC tại I

a) Xác định giao điểm K của SO với phẳng \(\left(\alpha\right)\)

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // \(\left(\alpha\right)\)

c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình bình hàng ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) sao cho SA = SC; SB = SD. Chứng minh rằng : 

a) \(SO\perp\left(\alpha\right)\)

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH)

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB)

b) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính \(\tan\varphi\)

c) Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định \(\left(\alpha\right)\) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với \(\left(\alpha\right)\)

Cho điểm \(M\left(1;4;2\right)\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+y+z-1=0\) :

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? Mệnh đề nào sai ?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau

c) Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì a // \(\left(\alpha\right)\)

d) Hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng \(\left(\gamma\right)\) thì  \(\left(\alpha\right)\) // \(\left(\beta\right)\)

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

Trong mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng \(Ax\) vuông góc \(\left(\alpha\right)\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng  \(\left(\beta\right)\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C' , C'.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B', C', D' luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành

Cho tam giác ABC. Gọi  \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và  \(\left(\beta\right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC) ?