Đáp án C

Do S A ⊥ A B C D  nên góc giữa SB với (ABCD) là góc S B A = 45 0

=>  Δ S A B vuông cân tại A ⇒ S A = A B = a ;

ta có:  A C = 2 a

Vậy  S C = S A 2 + A C 2 = a 2 + 2 a 2 = 3 a

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Chọn đáp án C.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì  B D ⊥ S A O

Kẻ SH vuông góc với AB. Do (SAB) vuông góc với đáy nên hình chiều của S trên (ABCD) chính là H.

Mặt khác tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB.

\(CH=\sqrt{BH^2+BC^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+a^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Góc giữa SC và đáy là góc SCH nên \(\widehat{SCH}=45^0\)

\(SH=CH.\tan 45^0=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(S_{ABCD}=a^2\)

Vậy \(V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{5}}{6}\)

 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy \(\Delta OAB\) vuông tại O và \(OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Từ đó \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-a^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{a}{2}\) \(\Rightarrow AC=a\).

Vì \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) nên \(SA\perp AC\) tại A hay \(\Delta SAC\) vuông tại A. 

Lại có \(\tan SAC=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\) nên \(\widehat{SAC}=60^o\), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 60^o \(\Rightarrow\) Chọn A

Chỗ \(\widehat{SAC}\) em sửa lại là \(\widehat{SCA}\) mới đúng ạ.

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Xác định được 

Vì M là trung điểm SA nên

Kẻ  và chứng minh được  nên 

Trong ∆  vuông MAD tính được 

Chọn A.