a) điều kiện xác định : \(a\ge0;a\ne1\)

ta có : \(P=\dfrac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+2}-1\)

để \(\left|P\right|=1\Leftrightarrow\left|\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=1\\\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-1=0\\\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{2}{\sqrt{a}-1}=0\\\dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2=0\left(vôlí\right)\\2\sqrt{a}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=0\)

vậy \(a=0\)

câu b đề bị sai rồi . thế \(a=1\) vào là bt

Đặt biểu thức trên là A

\(A^3=2a+3A\sqrt[3]{\left(a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}\right)\left(a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}\right)}\)

\(=2a+3A\sqrt[3]{a^2-\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2.\dfrac{8a-1}{3}}\)

\(=2a+3A\sqrt[3]{\dfrac{-8a^3+12a^2-6a+1}{27}}\)

\(=2a+3A\sqrt[3]{\left(\dfrac{1-2a}{3}\right)^3}=2a+A\left(1-2a\right)\)

\(\Leftrightarrow A^3-2a-A+2aA=0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A^2+A+2a\right)=0\)

Dễ thấy \(A^2+A+2a>0\) nên A=1.

Xét \(x^3=2a+3x.\sqrt[3]{a^2-\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2.\dfrac{8a-1}{3}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=2a+3x.\sqrt[3]{\dfrac{\left(1-2a\right)^3}{27}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=2a+x.\left(1-2a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2a\right)=0\)

Dễ thấy \(x^2+x+2a=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{8a-1}{4}>0\) (vì \(a>\dfrac{1}{8}\))

Nên x=1 hay x là số nguyên.

Tham khảo:

Căn thức đằng sau là căn bậc 2 hay căn bậc 3 bạn?

Căn bậc 2 thì x nó vô tỉ chứ hữu tỉ làm sao được

\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+14ab+8b^2}}=\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}}\ge\dfrac{2a^2}{a+4b+3a+2b}=\dfrac{a^2}{2a+3b}\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5a+5b+5c}=\dfrac{a+b+c}{5}\) (đpcm)