Lời giải:
a. $AB=AC=14$ cm nên $ABC$ là tam giác cân tại $A$
Do đó đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến 

$\Rightarrow BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ (cm) 

b. 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}=1$ 

Hình vẽ:

Cậu tự vẽ hình nhé !

Chứng minh :

a) Xét \(\Delta\)ABC : BD là tia phân giác của góc BAC ( giả thiết )

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BD}{BD+DC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)  

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{14}{28}\)

\(\Rightarrow\) BD = \(\dfrac{12.14}{28}\) = 6 cm 

Có BD + DC = BC ( tính chất cộng đoạn thẳng )

\(\Rightarrow\) DC = BC - BD = 12 -6 = 6 cm

b) Xét \(\Delta\)ABC có : AB = AC ( = 14 )  

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABC cân tại A 

\(\Rightarrow\) góc ABC = góc ACB ( 2 góc ở đáy )

 Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACD có :

 góc ABC = góc ACB ( chứng minh trên ) 

góc BAD = góc DAC ( BD là tia phân giác của góc BAC ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta\)ACD ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=^{ }\) \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=\dfrac{144}{144}=1\)

Hình tự vẽ lấy nhé

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của:

\(\Rightarrow\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà AB = 15cm và AC = 20cm ( gt )

Nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}\)

\(\Rightarrow\frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\)( Tính chất tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 )

\(\Rightarrow\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}\Rightarrow DB=\frac{15}{35}.BC=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}\left(cm\right)\)

b) Kẻ \(AH\perp BC\)

Ta có: \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AH.BD\)

\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AH.CD\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.CD}=\frac{BD}{DC}\)

Mà \(\frac{DB}{DC}=\frac{15}{12}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của:

Mà AB = 15cm và AC = 20cm ( gt )

Nên \(\dfrac{DC}{DB}\)

( Tính chất tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 )

b) Kẻ 

Ta có:\(S_{ABD}\)=\(\dfrac{1}{2}\)AH.BD

\(S_{ACD}\)=\(\dfrac{1}{2}\)AH.CD

⇒\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\)=\(\dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.CD}\)=\(\dfrac{BD}{DC}\)

Mà \(\dfrac{DB}{DC}\)=\(\dfrac{15}{12}\)=\(\dfrac{3}{4}\)

⇒\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\)=\(\dfrac{3}{4}\)(đpcm)

a) Ta có: \(BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 10 - BD\)

Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8BD = 6.\left( {10 - BD} \right) \Rightarrow 8BD = 60 - 6BD\)

\( \Leftrightarrow 8BD + 6BD = 60 \Leftrightarrow 14BD = 60 \Rightarrow BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}\)

\( \Rightarrow DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}\)

Vậy \(BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm\).

b) Kẻ \(AE \bot BC \Rightarrow AE\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Vì \(AE \bot BC \Rightarrow AE \bot BD \Rightarrow AE\)là đường cao của tam giác \(ADB\)

Diện tích tam giác \(ADB\) là:

\({S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE\)

Vì \(AE \bot BC \Rightarrow AE \bot DC \Rightarrow AE\)là đường cao của tam giác \(ADC\)

Diện tích tam giác \(ADC\) là:

\({S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}\).

Vậy tỉ số diện tích giữa \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\) là \(\frac{3}{4}\).

a) Xét tam giác ABD và ACD

    góc BAD = góc CAD

    AD chung

=> 2 tam giác đồng dạng

AB/AC = BD/DC => DC = 7 => BC = 12

b) SABD / SACD = ( BD/DC ) ^2 = 25/49

a) Xét tam giác ABC có:

BD là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)(tính chất)

 \(\Rightarrow\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{25}{7}\)(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DB=\dfrac{25.3}{7}=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\\DC=\dfrac{25.4}{7}=\dfrac{100}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.DC}{\dfrac{1}{2}.AH.BC}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{100}{7}:25=\dfrac{4}{7}\)

a: Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

hay \(\dfrac{BD}{15}=\dfrac{CD}{20}\)

mà BD+CD=25cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{15}=\dfrac{CD}{20}=\dfrac{25}{35}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(BD=\dfrac{75}{7}cm;CD=\dfrac{100}{7}cm\)

a) Xét tam giác BAD và CAD có:

AB=AC=14cm

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(AD là tia phân giác)

AD cạnh chung

=> \(\Delta BAD=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\)

=> BD=CD

Mà BD+CD=BC=12 cm

=> BD=DC=12:2=6(cm)

b) Vì AB=AC, BD=DC

=> AD là đường trung trực của BC

=> AD _|_ BC

=> \(S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BD;S_{\Delta CAD}=\frac{1}{2}AD\cdot DC\)

\(\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta CAD}}=\frac{AD\cdot BD}{AD\cdot DC}=\frac{AD}{DC}=1\)

Trong △ ABC, ta có: AD là đường phân giác của (BAC)

Suy ra:  (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên 

Suy ra:  (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: