a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat{HAE}=\widehat{GCF}\) và \(AD=BC\).

Mà \(DH=BG\Rightarrow AD-DH=BC-BG\) hay \(AH=CG\).

Xét \(\triangle AHE\) và \(\triangle CGF\) có:
\(+AE=CF \ (gt)\)

\(+\widehat{HAE}=\widehat{GCF} \ (cmt)\)

\(+AH=CG \ (cmt)\)

\(\Rightarrow \triangle AHE=\triangle CGF \ (c.g.c)\)

\(\Rightarrow HE=GF\).

Cmtt: \(EG=FH\).

Suy ra tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành.

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC\).

Tứ giác \(AECF\) có \(AE // CF; AE=CF\) nên là hình bình hành \(\Rightarrow\) Hai đường chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà \(O\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow O\) là trung điểm của \(EF\).

Tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(EF\) và \(GH\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\Rightarrow O\) là trung điểm của \(GH\).

Vậy các đường thẳng \(AC, BD, EF, GH\) đồng quy tại \(O\).

Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tứ giác AECF, ta có: AB // CD (gt) hay AE // CF

AE = CF (gt)

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ O là trung điểm của AC và EF

Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm AC nên O cũng là trung điểm của BD.

Tứ giác EGFH là hình bình hành có O là trung điểm EF nên O cũng là trung điểm của GH.

Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

=>AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đườg(1)

Xét tứ giác BGDH có

BG//DH

BG=DH

=>BGDH là hình bình hành

=>BD cắt GH tại trung điểm của mỗi đường(2)

ABCD là hìnhbình hành

nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1), (2) , (3) suy ra AC,BD,GH,EF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường

=>GH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

Xét tứ giác EHFG có

GH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>EHFG là hình bình hành