a: XétΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

\(\widehat{CAN}\) chung

Do đó: ΔABM\(\sim\)ΔACN

b: Ta có: ΔABM∼ΔACN

nên AB/AC=AM/AN

hay AM/AB=AN/AC

Xét ΔANM và ΔACB có

AN/AC=AM/AB

\(\widehat{NAM}\) chung

Do đó: ΔANM∼ΔACB

Giải thích các bước giải:

a) ΔABCΔABC có đường cao AN,BMAN,BM

⇒AN⊥BC;BM⊥AC⇒AN⊥BC;BM⊥AC

Xét tứ giác IMCNIMCN có:

ˆIMC=ˆINC=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)IMC^=INC^=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)

⇒ˆIMC+ˆINC=1800⇒IMC^+INC^=1800

⇒⇒ tứ giác IMCNIMCN nội tiếp

b) Xét ΔBINΔBIN và ΔAIMΔAIM có:

ˆBNI=ˆAMI=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)BNI^=AMI^=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)

ˆBIN=ˆAIMBIN^=AIM^ (đối đỉnh)

⇒⇒ ΔBIN∽ΔAIMΔBIN∽ΔAIM (g.g)

⇒IBIA=INIM⇒IA.IN=IM.IB⇒IBIA=INIM⇒IA.IN=IM.IB

c) Tứ giác IMCNIMCN nội tiếp

⇒ˆAIH=ˆNCM⇒AIH^=NCM^ hay ˆAIH=ˆACBAIH^=ACB^

Xét (O)(O) có: ˆACB=ˆAHBACB^=AHB^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ABAB)

⇒ˆAIH=ˆAHB⇒AIH^=AHB^

⇒ˆAIH=ˆAHI⇒ΔAIH⇒AIH^=AHI^⇒ΔAIH cân tại A⇒AI=AH

a: Xét ΔBNC và ΔCMB có 

NB=MC

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

BC chung

Do đó; ΔBNC=ΔCMB

b: Sửa đề: Cm ΔANM cân tại A

Xét ΔANM có AN=AM

nên ΔANM cân tại A

Ta có:

     I là giao điểm của hai đường cao BM, CN trong tam giác ABC. Suy ra I là trực tâm của tam giác ABC. Vậy \(AI \bot BC\). (1)

     K là giao điểm của hai đường cao DQ, CP trong tam giác CED. Suy ra K là trực tâm của tam giác CED.

Vậy \(EK \bot CD\). (2)

Mà ba điểm B, C, D thẳng hàng. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AI // EK. 

Xét tứ giác AMHN có:  A M H ^ + A N H ^ = 90 0 + 90 0 = 180 0 => Đpcm

Xét tứ giác BNMC có:  B N C ^ = B M C ^ = 90 0 => Đpcm