Gọi 4 số cần tìm là x, y, z, t ta có:

Cấp số cộng x, y, z, t

Cấp số nhân x−2, y−6, z−7, t−2

Ta có hệ

ĐS: x = 5, y = 12, z = 19, t = 26

Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: \({u_{n - 1}},\;{u_n},\;{u_{n + 1}}\)

Theo tính chất của cấp số cộng ta có: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)

Mà đề bài: \({u_{n - 1}} + {u_n} + {u_{n + 1}} = 21\)  suy ra \(3{u_n} = 21\;\)

  \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u_n} = 7\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{n - 1}} = {u_n} - d = 7 - d\\{u_{n + 1}} = {u_n} + d = 7 + d\end{array} \right.\end{array}\)

Lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào 3 số ta được: \({u_{n - 1}} + 2,\;{u_n} + 3,\;{u_{n + 1}} + 9\) hay \(9 - d,\;10,\;16 + d\)

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {9 - d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2}\\ \Leftrightarrow {d^2} + 7d - 44 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d =  - 11\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\)      

Vậy 3 số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.

Chọn A.

Phương pháp:

Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng

⇔ x + z - 2 y

Và số x, y, z lập thành một cấp số nhân  ⇔ x z = y 2

Cách giải

Do 3 số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21 nên ta có

x + z = 2 y x + y + z = 21

⇔ x + z = 14 y = 7

⇔ x = 14 - z y = 7 ( 1 )

Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng)

thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có

( x + 2 ) ( z + 9 ) = ( y + 3 ) 2 ( 2 )

Thay (1) vào (2) ta có:

( 14 - z + 2 ) ( z + 9 ) = ( 7 + 3 ) 2

⇔ z 2 - 7 z - 44 = 0

⇔ z = 11 z = - 4

z = 11 ⇒ z = 14 - 11 = 3

⇒ F = x 2 + y 2 + z 2 = 179

z = - 4 ⇒ x = 14 - ( - 4 ) = 18

⇒ F = x 2 + y 2 + z 2 = 389

Chọn A.

Phương pháp:

Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng 

Cách giải:

Do 3 số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21 nên ta có

Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có: 

Chọn C

*Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x+  z = 2y.

Kết hợp với giả thiết, x+ y + z = 21, ta suy ra  3y = 21 nên y =  7.

* Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y − d = 7 − d  và z = y + d = 7 + d .

Sau khi thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số x ; y ; z ta được ba số là x+ 2 ; y + 3 ; z + 9 hay

9- d ;  10 ; 16+ d.

 * Theo tính chất của cấp số nhân, ta có

9 − d 16 + d = 10 2 ⇔ d 2 + 7 d − 44 = 0

Giải phương trình ta được d= -11 hoặc d= 4.

   Với d = -11 ; cấp số cộng 18 ; 7 ; - 4. Lúc này F = 389.

   Với d= 4, cấp số cộng 3 ; 7 ; 11. Lúc này F = 179.

Chọn B.

Gọi bốn số đó là a ;b ;c ;d ta có hệ:

Giải ra ta được : b = 16 ; c = 20 ; d = 25 ; a = 12.

Chọn D.

Gọi u₁; u₂; u₃ tạo thành  cấp số cộng.

Theo đề bài: u₁ + 2; u₂ + 3; u₃ + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.

Theo đề bài: 

Giải (*): (16 – u₃)(u₃ + 9) = 100 ⇔ -u₃² + 7u₃ + 44 = 0 ⇔ u₃ =11 ∨ u₃ = - 4

Với u₃ = 11 ⇒ u₁ = 3.

Với u₃ = -4 ⇒ u₁ = 18.

a) Giả sử số đo bốn góc của tứ giác lần lượt là \({u_1},{u_1}.q,{u_1}.{q^2},{u_1}.{q^3}\left( {{u_1},q > 0} \right)\).

Tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng \({360^ \circ }\) nên ta có phương trình:

\({u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^3} = 360 \Leftrightarrow {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 360\left( 1 \right)\)

Số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất nên ta có phương trình:

\(\frac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}}} = 8 \Leftrightarrow {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2\left( 2 \right)\)

Thế (2) vào (1) ta có: \({u_1}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) = 360 \Leftrightarrow {u_1} = 24\)

Vậy số đo bốn góc của tứ giác đó là: \({24^ \circ };{24^ \circ }.2 = {48^ \circ };{24^ \circ }{.2^2} = {96^ \circ };{24^ \circ }{.2^3} = {192^ \circ }\).

b) Giả sử cấp số nhân đó có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\{u_8} = 256\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\{u_1}.{q^7} = 256\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\{q^7} =  - 128\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\q =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy ta cần viết thêm sáu số là:

\( - 2.\left( { - 2} \right) = 4;4.\left( { - 2} \right) =  - 8;\left( { - 8} \right).\left( { - 2} \right) = 16;16.\left( { - 2} \right) =  - 32;\left( { - 32} \right).\left( { - 2} \right) = 64;64.\left( { - 2} \right) =  - 128\)

Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: \({u_{15}} = {u_1}.{q^{14}} =  - 2.{\left( { - 2} \right)^{14}} =  - 32768\).