Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\), ta có :
a) \(13^n-1\) chia hết cho 6
b) \(3n^3+15n\) chia hết cho 9
Chứng minh rằng với \(n\in N^{\circledast}\), ta có :
a) \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3
b) \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9
c) \(n^3+11n\) chia hết cho 6
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)
3 nên Sk+1
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1
9, mặt khác 9(5k - 2)
9, nên Sk+1
9
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6
Ta phải chứng minh Sk+1 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4)
6, do đó Sk+1
6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\), ta có :
a) \(2n^3-3n^2+n\) chia hết cho 6
b) \(11^{n+1}+12^{n-1}\) chia hết cho 133
Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại
\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)
\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm
Lời giải:
\(A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C\)\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow B⋮6\forall n\in N\)
\(C=n\left(n-1\right)\) không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow A\) chỉ chia hết cho 6 với điều kiện \(n\ne3k+2\)
ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2
\(A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6\)
Kết luận đề sai
1.Chứng minh rằng \(2^{2^{6n+2}}+3⋮19\) với ,mọi n\(\in\)N
2.Chứng minh rằng với n>0 ta có 52n-1.22n-15n+1+3n+1.22n-1 chia hết cho 38
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :
a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
a)
Với \(n=1\).
\(n^5-n=1^5-1=0\).
Do 0 chia hết cho 5 nên điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(k^5-k⋮5\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)=C^0_5k^0+C^1_5k+...+C^5_5k^5-k-1\)
\(=1+C^1_5k+...+k^5-k-1\)
\(=C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\)
Do mỗi \(C_5^1;C^2_5;C^3_5;C^4_5\) đều chia hết cho 5 và do gải thiết quy nạp \(k^5-k⋮5\) nên \(C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\) chia hết cho 5.
Vì vậy: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.
b)
Tổng bình phương 3 số tự nhiên liên tiếp là: \(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\).
Ta cần chứng minh \(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9,\forall n\in N^{\circledast}\).
Với n = 1.
\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3=1^3+2^3+3^3=36\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với n = k.
Nghĩa là: \(k^3+\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3⋮9\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+\left(k+3\right)^3⋮9\)
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+\left(k+3\right)^3\)\(=\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+k^3+3.3k^2+3.k.3^2+3^3\)
\(=\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+k^3+9k^2+27k+81\)
Theo giả thiết quy nạp \(k^3+\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3⋮9\) và \(9k^2+27k+81=9\left(k^2+3k+9\right)⋮9\).
Nên \(\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+k^3+9k^2+27k+81⋮9\).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.
c)
Với \(n=1\).
\(n^3-n=1^3-1=0\) chia hết cho 6.
Vậy điều phải chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(k^3-k⋮9\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^3-\left(k+1\right)⋮9\).
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^3-\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1-k-1\)
\(=k^3-k+3k^2+3k\)\(=k^3-k+3k\left(k+1\right)\).
Theo giả thiết quy nạp \(k^3-k⋮9\) và do \(k\) và \(k+1\) là hai tự nhiên liên tiếp nên \(3k\left(k+1\right)\) chia hết cho 6. Vì vậy \(k^3-k+3k\left(k+1\right)⋮9\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6.
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)
3 nên Sk+1
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1
9, mặt khác 9(5k - 2)
9, nên Sk+1
9
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)
3 nên Sk+1
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1
9, mặt khác 9(5k - 2)
9, nên Sk+1
9
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6
Ta phải chứng minh Sk+1 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4)
6, do đó Sk+1
6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6.
a)Đặt \(E_n=n^3+3n^2+5n\)
Với n=1 thì E1=9 chia hết 3Giả sử En đúng với \(n=k\ge1\) nghĩa là:\(E_k=k^3+3k^2+5k\) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh Ek+1 chia hết 3,tức là:Ek+1=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) chia hết 3
Thật vậy:
Ek+1=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)
=k3+3k2+5k+3k2+9k+9=Ek+3(k2+3k+3)
Theo giả thiết quy nạp thì Ek chia hết 3
ngoài ra 3(k2+3k+3) chia hết 3 nên Ek chia hết 3
=>Ek chia hết 3 với mọi \(n\in N\)*
c) n^3-n+12n
= n(n^2-1)+12n
n(n-1)(n+1)+12n
Ta thấy 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ít nhất có 1 số chia hết cho 2, và ít nhất có 1 số chia hết cho 3, suy ra tích chia hết cho 6 mà 12n =6x2n chia hết cho 6 suy ra điều phải chứng minh
Chứng minh rằng :
a/ với mọi n thuộc N ta có : ( n + 3 ).( n + 13 ).( n + 14 ) chia hết cho 6
b/ với mọi n thuộc N* ta có : A = 34n + 1 + 24n + 1 chia hết cho 5
c/ với mọi n thuộc N* ta có : 56n + 777...777 chia hết cho 63 ( 777...777 có n chữ số 7 )
Chứng minh rằng:
a) n^3 + 3n^2+ 2n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
b)9n+1 không chia hết cho 100
c) n^2 +n+2 ko chia hết cho 15
Giúp mình với: chứng minh rằng với mọi số nguyên tố n, ta có:
a)n^5-5n^3+4n chia hết cho 120
b) n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48 với mọi n lẻ?
\(a,n^5-5n^3+4n\)
\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)
\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)