a, Vì ABCD là hbh (GT)

⇒ AB // CD (t/c hbh)

⇒ \(\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

mà \(\widehat{DAB}=120^0\) (GT)

⇒ \(\widehat{ADC}=60^0\)

mà \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)(ABCD là hbh)

⇒ \(\widehat{ABC}=60^0\)

Ta có: AD =4cm; AB =8cm (GT)

⇒ \(AD=\dfrac{1}{2}AB\)

mà AD = BC(ABCD là hbh)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{1}{2}AB\)

mà \(IB=\dfrac{1}{2}AB\) (I là trung điểm AB)

⇒ BC = IB \(\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\)

Xét ΔIBC có: BC=IB (CMT)

⇒ ΔIBC cân tại B(đ/n Δ cân)

lại có: \(\widehat{IBC}=60^0\left(CMT\right)\)

⇒ ΔIBC là Δ đều (t/c Δ đều)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=60^0\)(t/c Δđều)

Ta có: \(AD=\dfrac{1}{2}AB\)(CMT)

mà \(AI=\dfrac{1}{2}AB\) (I là TĐ của AB)

\(\Rightarrow AD=AI\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\)

⇒ ΔADI cân tại A (đ/n Δ cân)

\(\Rightarrow\widehat{AID}=\dfrac{180^0-\widehat{DAI}}{2}=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\) (t/c Δcân)

Ta có: \(\widehat{AID}+\widehat{DIC}+\widehat{BIC}=180^0\)(A;I;B thẳng hàng)

\(\Rightarrow30^{0^{ }}+\widehat{DIC}+60^0=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DIC}=90^0\)

b,Vì ABCD là hbh(GT)

⇒ AB =CD(t/c hbh)

mà \(AI=IB=\dfrac{1}{2}AB\)(I là TĐ của AB)

\(DK=KC=\dfrac{1}{2}DC\) (K là TĐ của CD)

⇒ AI =IB=DK=KC

Xét tứ giác AICK có:

AI // CK (AB//CD; I∈AB; K∈CD)

AI = CK (CMT)

⇒ AICK là hbh (tứ giác có 2 cạnh đối // và = nhau là hbh)

⇒ AK//IC (t/c hbh)

hay MK//IN

Xét tứ giác IBKD có:

IB // DK (AB//CD; I∈AB; K∈CD)

IB = DK (CMT)

⇒ IBKD là hbh (tứ giác có 2 cạnh đối // và = nhau là hbh)

⇒ ID // BK (t/c hbh)

hay IM // NK

Xét tứ giác IMKN có:

IM//NK (CMT)

IN//MK (CMT)

⇒ IMKN là hbh (tứ giác có các cạnh đối // là hbh)

lại có: \(\widehat{MIN}=90^0\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow IMKN\) là hcn (hbh có 1 góc vuông là hcn)

c, Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hbh (GT)

⇒ 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại TĐ mỗi đường(t/c hbh)

mà AC cắt BD tại O (c/vẽ)

⇒ O là TĐ của AC và BD (1)

Vì AICK là hbh (CMT)

⇒ 2 đường chéo AC và IK cắt nhau tại TĐ mỗi đường(t/c hbh)

mà O là TĐ của AC (CMT)

⇒ O là TĐ của IK (2)

Vì MINK là hcn (CMT)

⇒ 2 đường chéo IK và MN cắt nhau tại TĐ mỗi đường(t/c hcn)

mà O là TĐ của IK (CMT)

⇒ O là TĐ của MN (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ AC, BD, IK, MN đồng quy tại O

d, Vì △IBC đều

⇒ IC = BC (đ/n Δ đều)

mà BC = AD = 4cm (CMT)

⇒ IC = 4cm.

Xét tứ giác IBCK có:

IB // CK (AB//CD; I∈ AB;K∈ CD)

IB = CK (CMT)
⇒ IBCK là hbh (tg có 2 cạnh đối // và = là hbh)

⇒ 2 đường chéo IC và BK cắt nhau tại TĐ mỗi đường (t/c hbh)

nên N là TĐ của IC

\(\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Sau đó bạn cm AIKD là hbh tương tự như IBCK là hbh

⇒ 2 đường chéo ID và AK cắt nhau tại TĐ mỗi đường (t/c hbh)

⇒ M là TĐ của ID và AK

Xét ΔAID cân tại A có

M là TĐ của ID (CMT) ⇒ AM là đường tr/tuyến

⇒ AM đồng thời là đường cao (T/c Δ cân)

⇒ AM ⊥ DI tại M

⇒ ΔMAI vg tại M

Vì AICK là hbh (CMT)

⇒ AK = IC = 4cm(t/c hbh)

mà \(AM=\dfrac{1}{2}AK\)(M là TĐ của AK)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Ta có: \(AI=\dfrac{1}{2}AB\left(CMT\right)\)

\(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right)\)

Xét Δvg MAI có:

\(MI^{2^{ }}=AI^2-AM^2\)(đ/lí PY-ta-go)

\(\Rightarrow MI^2=4^{2^{ }}-2^2=12\)

\(\Rightarrow MI=\sqrt{12}\) (vì MI >0)

Vì MINK là hcn (CMT)

\(\Rightarrow S_{MINK}=IN.IM\) (CT tính S_hcn)

\(\Rightarrow S_{MINK}=\sqrt{12}.2=4\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

a: Xét tứ giác AICK có 

AI//CK

AI=CK

Do đó: AICK là hình bình hành

MỌI NGƯỜI GIÚP MÌNH TRONG HÔM NAY VỚI Ạ !!! MAI MÌNH KIỂM TRA RÙI !!! THANK KIU EVERYONE,  MONG NHẬN ĐK CÂU TRẢ LỜI SỚM ( MÀ MỌI NGƯỜI KHÔNG CẦN VX HÌNH ĐÂU Ạ ^^)

1)      a.   xét trong tam giác ABC có

           I trung điểm AB và K trung điểm AC  =>IK là đường trung bình của tam giác ABC=>IK song song với BC

            vậy BCKI là hình thang (vì có hai cạng đáy song song)

          b.

            IK  // và =1/2BC   (cm ở câu a)   =>IK song  song NM

            M trung điểm HC  và N trung điểm HB  mà HB+HC=CB =>MN=IK=1/2BC

            suy ra MKIN là hbh => có hai đường chéo bằng nhau =>IM=NK

Câu 1:

a)

\(BM=MC=\frac{1}{2}BC\) (M là trung điểm của BC)

\(AN=ND=\frac{1}{2}AD\) (N là trung điểm của AD)

mà \(BC=AD\) (ABCD là hình bình hành)

\(\Rightarrow AN=ND=BM=MC\) (1)

mà ND // BM

=> BMDN là hình bình hành

=> BN // MD (2)

=> MDKB là hình thang

b)

MC = AN (theo 1)

mà MC // AN (ABCD là hình bình hành)

=> AMCN là hình bình hành

=> AM // CN (3)

Từ (2) và (3)

=> MPNQ là hình bình hành (4)

BM = AN (theo 1)

mà BM // AN (ABCD là hình bình hành)

=> ABMN là hình bình hành

mà AB = BM \(\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)

=> ABMN là hình thoi

=> AM _I_ BN

=> MPN = 90⁰ (5)

Từ (4) và (5)

=> MPNQ là hình chữ nhật

c)

MPNQ là hình vuông

<=> MN là tia phân giác của PMQ

mà MN là đường trung tuyến của tam giác MDA vuông tại M (N là trung điểm của AD; MPNQ là hình chữ nhật)

=> Tam giác MDA vuông cân tại M có MN là đường trung tuyến

=> MN là đường cao của tam giác MDA

=> MNA = 90⁰

mà MNA = ABM (ABMN là hình thoi)

=> ABM = 90⁰

mà ABCD là hình bình hành

=> ABCD là hình chữ nhật

Câu 2:

a)

\(AE=EB=\frac{AB}{2}\) (E là trung điểm của của AB)

\(CF=FD=\frac{CD}{2}\) (F là trung điểm của của CD)

mà AB = CD (ABCD là hình bình hành)

=> AE = EB = CF = FD (1)

mà AE // CF (ABCD là hình bình hành)

=> AECF là hình bình hành

b)

AE = FD (theo 1)

mà AE // FD (ABCD là hình bình hành)

=> AEFD là hình bình hành

mà DA = AE \(\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)

=> AEFD là hình thoi

=> AF _I_ ED

=> EMF = 90⁰ (2)

EB = FD (theo 1)

mà EB // FD (ABCD là hình bình hành)

=> EBFD là hình bình hành

=> EM // NF

mà EN // MF (AECF là hình bình hành)

=> EMFN là hình bình hành

mà EMF = 90⁰ (theo 2)

=> EMFN là hình chữ nhật

c)

EMFN là hình vuông

<=> EF là tia phân giác của MEN

mà EF là đường trung tuyến của tam giác ECD vuông tại E (F là trung điểm của CD; EMFN là hình chữ nhật)

=> Tam giác ECD vuông cân tại E có EF là đường trung tuyến

=> EF là đường cao của tam giác ECD

=> EFD = 90⁰

mà EFD = DAE (AEFD là hình thoi)

=> DAE = 90⁰

mà ABCD là hình bình hành

=> ABCD là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác BMDN có 

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành