a, Vì ABCD là hbh (GT)
⇒ AB // CD (t/c hbh)
⇒ \(\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)
mà \(\widehat{DAB}=120^0\) (GT)
⇒ \(\widehat{ADC}=60^0\)
mà \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)(ABCD là hbh)
⇒ \(\widehat{ABC}=60^0\)
Ta có: AD =4cm; AB =8cm (GT)
⇒ \(AD=\dfrac{1}{2}AB\)
mà AD = BC(ABCD là hbh)
\(\Rightarrow BC=\dfrac{1}{2}AB\)
mà \(IB=\dfrac{1}{2}AB\) (I là trung điểm AB)
⇒ BC = IB \(\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\)
Xét ΔIBC có: BC=IB (CMT)
⇒ ΔIBC cân tại B(đ/n Δ cân)
lại có: \(\widehat{IBC}=60^0\left(CMT\right)\)
⇒ ΔIBC là Δ đều (t/c Δ đều)
\(\Rightarrow\widehat{BIC}=60^0\)(t/c Δđều)
Ta có: \(AD=\dfrac{1}{2}AB\)(CMT)
mà \(AI=\dfrac{1}{2}AB\) (I là TĐ của AB)
\(\Rightarrow AD=AI\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\)
⇒ ΔADI cân tại A (đ/n Δ cân)
\(\Rightarrow\widehat{AID}=\dfrac{180^0-\widehat{DAI}}{2}=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\) (t/c Δcân)
Ta có: \(\widehat{AID}+\widehat{DIC}+\widehat{BIC}=180^0\)(A;I;B thẳng hàng)
\(\Rightarrow30^{0^{ }}+\widehat{DIC}+60^0=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DIC}=90^0\)
b,Vì ABCD là hbh(GT)
⇒ AB =CD(t/c hbh)
mà \(AI=IB=\dfrac{1}{2}AB\)(I là TĐ của AB)
\(DK=KC=\dfrac{1}{2}DC\) (K là TĐ của CD)
⇒ AI =IB=DK=KC
Xét tứ giác AICK có:
AI // CK (AB//CD; I∈AB; K∈CD)
AI = CK (CMT)
⇒ AICK là hbh (tứ giác có 2 cạnh đối // và = nhau là hbh)
⇒ AK//IC (t/c hbh)
hay MK//IN
Xét tứ giác IBKD có:
IB // DK (AB//CD; I∈AB; K∈CD)
IB = DK (CMT)
⇒ IBKD là hbh (tứ giác có 2 cạnh đối // và = nhau là hbh)
⇒ ID // BK (t/c hbh)
hay IM // NK
Xét tứ giác IMKN có:
IM//NK (CMT)
IN//MK (CMT)
⇒ IMKN là hbh (tứ giác có các cạnh đối // là hbh)
lại có: \(\widehat{MIN}=90^0\left(CMT\right)\)
\(\Rightarrow IMKN\) là hcn (hbh có 1 góc vuông là hcn)
c, Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hbh (GT)
⇒ 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại TĐ mỗi đường(t/c hbh)
mà AC cắt BD tại O (c/vẽ)
⇒ O là TĐ của AC và BD (1)
Vì AICK là hbh (CMT)
⇒ 2 đường chéo AC và IK cắt nhau tại TĐ mỗi đường(t/c hbh)
mà O là TĐ của AC (CMT)
⇒ O là TĐ của IK (2)
Vì MINK là hcn (CMT)
⇒ 2 đường chéo IK và MN cắt nhau tại TĐ mỗi đường(t/c hcn)
mà O là TĐ của IK (CMT)
⇒ O là TĐ của MN (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ AC, BD, IK, MN đồng quy tại O
d, Vì △IBC đều
⇒ IC = BC (đ/n Δ đều)
mà BC = AD = 4cm (CMT)
⇒ IC = 4cm.
Xét tứ giác IBCK có:
IB // CK (AB//CD; I∈ AB;K∈ CD)
IB = CK (CMT)
⇒ IBCK là hbh (tg có 2 cạnh đối // và = là hbh)
⇒ 2 đường chéo IC và BK cắt nhau tại TĐ mỗi đường (t/c hbh)
nên N là TĐ của IC
\(\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)
Sau đó bạn cm AIKD là hbh tương tự như IBCK là hbh
⇒ 2 đường chéo ID và AK cắt nhau tại TĐ mỗi đường (t/c hbh)
⇒ M là TĐ của ID và AK
Xét ΔAID cân tại A có
M là TĐ của ID (CMT) ⇒ AM là đường tr/tuyến
⇒ AM đồng thời là đường cao (T/c Δ cân)
⇒ AM ⊥ DI tại M
⇒ ΔMAI vg tại M
Vì AICK là hbh (CMT)
⇒ AK = IC = 4cm(t/c hbh)
mà \(AM=\dfrac{1}{2}AK\)(M là TĐ của AK)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)
Ta có: \(AI=\dfrac{1}{2}AB\left(CMT\right)\)
\(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right)\)
Xét Δvg MAI có:
\(MI^{2^{ }}=AI^2-AM^2\)(đ/lí PY-ta-go)
\(\Rightarrow MI^2=4^{2^{ }}-2^2=12\)
\(\Rightarrow MI=\sqrt{12}\) (vì MI >0)
Vì MINK là hcn (CMT)
\(\Rightarrow S_{MINK}=IN.IM\) (CT tính Shcn)
\(\Rightarrow S_{MINK}=\sqrt{12}.2=4\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
