Do D đối xứng M qua AB \(\Rightarrow\) AB là trung trực DM

\(\Rightarrow AM=AD\) và \(\widehat{DAB}=\widehat{MAB}\)

Tương tự ta có \(AM=AE\) và \(\widehat{CAM}=\widehat{CAE}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{MAB}+\widehat{CAM}+\widehat{CAE}=2\left(\widehat{MAB}+\widehat{CAM}\right)=2\widehat{BAC}\)

Do \(AM=AD=AE\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A

Kẻ đường cao AH ứng với DE \(\Rightarrow\) H đồng thời là trung điểm DE và \(\widehat{DAH}=\dfrac{1}{2}\widehat{DAE}=\dfrac{1}{2}.2\widehat{BAC}=\widehat{BAC}\)

Trong tam giác vuông ADH:

\(sin\widehat{DAH}=\dfrac{DH}{AD}\Rightarrow DH=AD.sin\widehat{DAH}=AM.sin\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}DE=AM.sin\widehat{BAC}\Rightarrow DE=2AM.sin\widehat{BAC}\)

Mà ABC cố định  \(\Rightarrow DE_{max}\) khi \(AM_{max}\Rightarrow AM\) là đường kính của đường tròn

Hay M đối xứng A qua tâm O

Tham khảo:

Kẻ AH ⊥ DE tại H

D A E ^ = 2 B A C ^

=>  D A H ^ = B A C ^

Từ DE=2DH; AD=AM=AE

Suy ra DH=AD.sin D A H ^

Từ đó  D E m a x <=> AM = 2R

1. Gọi giao điểm của CH với AB là I,  AH với BC là K,Ta có tứ giác BIHK nội tiếp $\Rightarrow I\hat{B}K+K\hat{H}I={180}^0$mà$\hat{H}I=A\hat{H}C\Rightarrow I\hat{B}K+A\hat{H}C={180}^0$ (1) Ta lại có $I\hat{B}K=A\hat{M}C$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$A\hat{M}C=A\hat{P}C$ (t/c đối xứng)  $\Rightarrow I\hat{B}K=A\hat{P}C$  (2)Từ (1) và (2)   $\Rightarrow A\stackrel{}{}$

a)gọi I là giao điểm của CH và AB

K là giao điểm AH và BC

ta có :góc IBK+ AHC=180 độ

mà góc IBK= APC 

=> tứ giác AHCP nội tiếp 

b)Ta có Góc AHP= ACP cùng chắn cung AP (

mà góc ACP=ACM (1)

=> góc ACP= AHP

cmtt 

gócAHN=ABN cùng chắn cung AP

mà ABN=ABM => AHN=ABM(2)

Xét tứ giác ABMC nội tiếp 

gócACM+ABM=180 độ (3)

từ (1)(2)(3) => 

góc AHP+AHN=180 độ

=> N,H,P thẳng hàng

ta có góc MAN=2BAM,

góc MAP=2MAC

=> NAP=2(BAM+MAC)

=2 x góc BAC (ko đổi )

ta có AM=AN=AP 

NP=2AP.sin BAC=2AM.sinBAC

=> NP lớn nhất <=> AM Max