Do D đối xứng M qua AB \(\Rightarrow\) AB là trung trực DM
\(\Rightarrow AM=AD\) và \(\widehat{DAB}=\widehat{MAB}\)
Tương tự ta có \(AM=AE\) và \(\widehat{CAM}=\widehat{CAE}\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{MAB}+\widehat{CAM}+\widehat{CAE}=2\left(\widehat{MAB}+\widehat{CAM}\right)=2\widehat{BAC}\)
Do \(AM=AD=AE\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A
Kẻ đường cao AH ứng với DE \(\Rightarrow\) H đồng thời là trung điểm DE và \(\widehat{DAH}=\dfrac{1}{2}\widehat{DAE}=\dfrac{1}{2}.2\widehat{BAC}=\widehat{BAC}\)
Trong tam giác vuông ADH:
\(sin\widehat{DAH}=\dfrac{DH}{AD}\Rightarrow DH=AD.sin\widehat{DAH}=AM.sin\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}DE=AM.sin\widehat{BAC}\Rightarrow DE=2AM.sin\widehat{BAC}\)
Mà ABC cố định \(\Rightarrow DE_{max}\) khi \(AM_{max}\Rightarrow AM\) là đường kính của đường tròn
Hay M đối xứng A qua tâm O
