Câu 1 

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\left(\frac{a}{b}+1\right)=\left(\frac{c}{d}+1\right)\left(=\right)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)

=> ĐPCM

Câu 2

Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=>\left(\frac{b}{a}+1\right)=\left(\frac{d}{c}+1\right)\left(=\right)\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}=>\frac{a}{b+a}=\frac{c}{d+c}\)

=> ĐPCM

Câu 3

Câu 3

Ta có \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(=) (a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)(=)ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd(=)-ad+bc=ad-bc(=) bc+bc=ad+ad(=)2bc=2ad(=)bc=ad=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

=> ĐPCM

Câu 4 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(=>\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Ta có \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)\)

Lại có \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+c^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Mày là thằng anh tuấn lớp 7c trường THCS yên lập đúng ko 

Đề:CM `sqrt{a+b}+sqrt{a-b}<2sqrta(a>b>0)`

`<=>(sqrt{a+b}+sqrt{a-b})^2<4a`

`<=>a+b+a-b+2sqrt{a^2-b^2}<4a`

`<=>2sqrt{a^2-b^2}<2a`

`<=>sqrt{a^2-b^2}<a`

`<=>a^2-b^2<a^2` luôn đúng vì `b>0=>b^2>0=>a^2-b^2<a^2`

(a + b)(a - b) = (a+b).a - (a + b).b =( a² + ab) - (ab + b²) = a² + ab - ab - b² = a² - b²

Vậy (a + b)(a - b) = a² - b² (đpcm)  

Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)

Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)

\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)

Nếu a và b khác dấu thì bđt hiển nhiên đúng vì 1 vế ≥0 và 1 vế ≤0
Nếu a và b cùng dấu => \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)<=>a⁴+b⁴≥ab³+a³b(nhân 2 vế với số dương ab)<=> a⁴+b⁴≥ab(a²+b²) (*) 
ta có (x-y)²≥0 <=> x²+y²≥2xy <=> 2(x²+y²)≥ x²+2xy+y²=(x+y)²
áp dụng bđt trên
 => 2(a⁴+b⁴):2≥\(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)≥\(\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}\)(bđt cô si)<=>a⁴+b⁴≥ab³+a³b(đpcm)
 

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).

b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).

Bài 2: tương tự 1b.

Bài 3:

Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT:

\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )

Biến đổi tương đương ta có

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2+2a^2b^2-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2-ab\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2-ab\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+b\right)^2-ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (Luôn đúng)