\(x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}}}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{5+\sqrt{13+x}}\) (\(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2=5+\sqrt{13+x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-9=\sqrt{13+x}-4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right).\left(x+3\right)=\dfrac{x-3}{\sqrt{13+x}+4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x+3=\dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}\left(∗\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (*) ta có VT \(\ge3\) (1)

mà \(VP=\dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}\le\dfrac{1}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) dễ thấy (*) vô nghiệm 

Hay x = 3

https://olm.vn/hoi-dap/detail/7291365157.html

tham khảo! bài này mk làm ở đó hơi thieuus bạn chỉ cần + ... là đc

\(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\)

\(\Leftrightarrow x^2-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5\right)^2=13+x\)

\(\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)-1\right]=0\)

do x>2 nen x=3

online ngu 

Bạn Tuyển Trần Thị cho mình hỏi là x > 2 ở đâu vậy?

\(x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13...}}}}\)

\(\Rightarrow x^2-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13...}}}\)

\(\Rightarrow x^4-10x^2+25-13=x\)

\(\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)-1\right]=0\)

Dễ thấy \(x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13...}}}}>\sqrt{4}=2\)nên \(\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)-1>5\cdot3\cdot1-1=14>0\)nên x = 3

dk  \(x>2\)

Xét \(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}}\)

    \(\left(x^2-5\right)^2=13+x\)

\(\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-9x^2\right)-\left(x^2-9\right)-\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)-1\right]=0\)

tiếp :  vì \(x>2\Rightarrow\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)-1>0\)

do đó \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

\(x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}}}\)

Nhận xét : x > 0

\(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5\right)^2-13=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}=x\)

\(\Rightarrow x^4-10x^2-x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^3+3x^2-x-4\right)=0\)

Suy ra x = 3

Chú ý : Ta có \(x>\sqrt{5}>\sqrt{4}=2\)

Do đó , các nghiệm của pt \(x^3+3x^2-x-4=0\) không thỏa mãn

x xấp xỉ bằng 3

Ta cần chứng minh Bđt \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\ge\sqrt{A+B}\)

Ta thấy 2 vế luôn dương bình 2 vế lên ta có:

\(\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^2\ge\sqrt{\left(A+B\right)^2}\)

\(\Rightarrow A+B+2\sqrt{AB}\ge A+B\)

\(\Rightarrow2\sqrt{AB}\ge0\) (luôn đúng do A,B dương)

Dấu = khi \(AB\ge0\)

Áp dụng vào bài toán ta đc: \(\sqrt{13-x}+\sqrt{x-5}\ge\sqrt{13-x+x-5}=\sqrt{8}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{8}\)

Dấu = khi \(AB\ge0\Leftrightarrow\left(13-x\right)\left(x-5\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5\le x\le13\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(13-x\right)\left(x-5\right)=0\\5\le x\le13\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=13\\x=15\end{cases}}\)

Vậy MinA=\(\sqrt{8}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=13\\x=5\end{cases}}\)