Cho \(A=\left(3x-2y\right)^2+y^2+2yz+z^2+\left(z-x\right)^2\). TÌm các số nguyên x,y,z để \(0\le A\le1\)
Cho A= \(\left(3x-2y\right)^2+y^2+2yz+z^2+\left(z-x\right)^2\)
Tìm các số nguyên x,y,z để \(0\le A\le1\)
Sao khóc vậy. Để t giúp cho :)
Ta có: \(A=\left(3x-2y\right)^2+y^2+2yz+z^2+\left(z-x\right)^2\)
\(=\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
Vì x, y, z nguyên nên A cũng phải nguyên. Để \(0\le A\le1\) thì A = 0 hoặc A = 1
Với A = 0 thì ta có
\(\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix}\left(3x-2y\right)^2\ge0\\\left(y+z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Dấu = xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix}3x-2y=0\\y+z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)
Với A = 1 thì
\(\left(\left(3x-2y\right)^2,\left(y+x\right)^2,\left(z-x\right)^2\right)=\left(1,0,0;0,1,0;0,0,1\right)\)
Thế lần lược vào ta thấy không có giá trị nào nguyên
Vậy x = y = z = 0 là giá trị duy nhất thỏa bài toán
Cho A = \(\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\). Tìm x , y , z \(\in Z\)để \(0\le A\le1\)
Cho A = \(\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\).Tìm các số nguyên x;y;z để \(0\le A\le1\).
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\\\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\le1\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1) đúng với mọi x,y,z thuộc R =>đúng với mọi x,y,z thuộcZ
có
điều kiện cần thỏa mãn (2)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|3x-2y\right|\le1\\\left|y+z\right|\le1\\\left|z-x\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(a\right)\\\left(b\right)\\\left(c\right)\end{matrix}\)
\(\left(b\right)+\left(c\right)\Leftrightarrow\left|y+z\right|+\left|z-x\right|=\left|y+z\right|+\left|x-z\right|\ge\left|y+z+x-z\right|=\left|y+x\right|\) (d)
\(\left|3x-2y\right|+\left|2y+2x\right|\ge\left|3x-2y+2y+2x\right|=\left|5x\right|\)
cần : \(\left|5x\right|\le2\Leftrightarrow x=\left\{0;\pm1\right\}\)
x=0 từ (a) => y =0 ; từ (b) (c)=z =0 ; (x;y;z) =(0;0;0)
x=1 từ (a) =y={1;2}
với y=1 từ (b) => z=-1 ; (x;y;z) =(1;1;-1)
với y=2 từ (b) => z =-2 từ (c) $|-2-1| \ne 0$ loại
x=-1 từ (a) =y={-1;-2}
với y=-1 từ (b) => z= 1 ; (x;y;z) =(-1;-1;1)
với y=-2 từ (b) => z = 2 từ (c) $| 2+1| \ne 0$ loại
kết luận
(x;y;z) =(0;0;0);(1;1;1); (-1;-1;1)
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: \(0\le x\le y\le z\le1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-y\right)+z^2\left(1-z\right)\)
1) Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn \(0\le x,y,z\le1\). Chứng minh rằng
\(\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\le\left(1-xyz\right)^3\)
2) Cho x,y là các số thực thỏa mãn \(x^2+xy+y^2=3\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
\(P=2x^2-5xy+2y^2\)
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D
\(\hept{\begin{cases}3x^2+2y+1=2z\left(x+2\right)\\3y^2+2z+1=2x\left(y+2\right)\\3z^2+2x+1=2y\left(z+2\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^2+2y+1=2xz+4z\\3y^2+2z+1=2xy+4x\\3z^2+2x+1=2yz+4y\end{cases}}}\)
Cộng 3 vế vào rồi chuyển vế ta được
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx+\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+2z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2 +\left(z-x\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)
Dễ thấy VP > 0
Dấu "=" khi x = y = z = -1
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x;y;z>.CMR:\(\left(x^2+2yz\right)\left(y^2+2zx\right)\left(z^2+2xy\right)\ge xyz\left(x+2y\right)\left(y+2z\right)\left(z+2x\right)\)
Cho \(0\le x,y,z\le3\) . Tìm GTLN của:
\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{z\left(z-2x\right)+x^2}\)
\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)
\(=\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz-z^2}+\sqrt{x^2-2xz+z^2}\)
\(=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=x-y+y-z+z-x\)
\(=0\)
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên \(\left(x,y,z\right)\) thỏa mãn
\(2\left(x+y+z+2xyz\right)^2=\left(2xy+2yz+2zx+1\right)^2+2023\)