Ta có: A=x³+y³+xy = (x+y)(x²-xy+y²)+xy

=> A=(x+y)(x²+2xy+y²-3xy)+xy

<=> A=(x+y)[(x+y)²-3xy]+xy=1.(1²-3xy)+xy

=> A=1-2xy

Lại có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)=> \(xy\le\frac{1}{4}\)

=> A=1-2xy\(\ge1-\frac{2.1}{4}\)

=> \(A\ge\frac{1}{2}\)

=> GTNN của A là 1/2

\(A=x^3+y^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy A_Min = \(\frac{1}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

mình biết làm nhưng dài quá bạn tra trên google là đc

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

a) Áp dụng bđt AM-GM: \(+\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2zx\end{cases}}\)\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z\)

b) Bổ đề; \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng : \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

c) Bổ đề: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng: \(B\le\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

d) \(A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Bài này tuy dễ nhưng hơi loằng ngoằng giữa các câu :))

a. Cách phổ thông : x² + y² + z²\(\ge\)xy + yz + zx

<=> 2 ( x² + y² + z² )\(\ge\)2 ( xy + yz + zx )

<=> ( x² - 2xy + y² ) + ( y² - 2yz + z² ) + ( z² - 2zx + x² )\(\ge\)0

<=> ( x - y )² + ( y - z )² + ( z - x )²\(\ge\)0 ( * )

Vì ( x - y )² \(\ge\)0 ; ( y - z )² \(\ge\)0 ; ( z - x )²\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z

=> ( * ) đúng 

=> A\(\ge\)B ; dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

b. Xài Cauchy cho mới

( x² + y² + z² ) ( 1² + 1² + 1² )\(\ge\)( x + y + z )² = 3² = 9

<=> 3 ( x² + y² + z² )\(\ge\)9 

<=> x² + y² + z²\(\ge\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy minA = 3 <=> x = y = z = 1

c. Theo câu a và câu b ta có : 3 ( xy + yz + zx )\(\le\)( x + y + z )² = 3² = 9

<=> xy + yz + zx\(\le\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1

Vậy maxB = 3 <=> x = y = 1

d. x + y + z = 3 . BP 2 vế ta được

x² + y² + z² + 2( xy + yz + zx ) = 9

Hay A + 2B = 9 . Mà B\(\le\)3 ( câu b )

=> A + B \(\ge\)6

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy min A + B = 6 <=> x = y = z = 1

b) Cái này là bạn đang chứng minh dùng CBS mà ?

Ta có : x + y = 3 => x = 3 - y 

=> \(xy=\left(3-y\right)y=3y-y^2=-\left(y^2-3y\right)=-\left[y^2-2.y.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]\)

\(=-\left[\left(y-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]=-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)

Vì \(-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\le0\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\le\frac{9}{4}\) \(\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(-\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow y=\frac{3}{2}\Rightarrow x=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN của xy là \(\frac{9}{4}\) tại \(x=y=\frac{3}{2}\)

GTNN của xy là 9/4 tại x = y = 3/2

   Mà bạn Đinh Đức Hùng có hack không vậy? Sao bạn ấy nhiều điểm thế! (không có ý nói xấu bạn đâu nha! Đừng hiểu lầm mình)

\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)-\left(xy+yz+xz\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\)

Mặt khác: \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=9-3=6\)

"=" khi a=b=c=1