Gọi H là giao điểm của NC và BM

Vẽ HK là phân giác BHC => BHK = CHK = BHC/2

Có: A + ABC + ACB = 180^o

=> 60^o + ABC + ACB = 180^o

=> ABC + ACB = 180^o - 60^o = 120^o

=> ABC/2 + ACB/2 = 60^o

Mà NBH = HBK = ABC/2; KCH = MCH = ACB/2

Nên HBK + HCK = 60^o

=> BHC = 180^o - (HBK + HCK) = 180^o - 60^o = 120^o

=> BHK = KHC = BHC/2 = 60^o

Có: BHN + BHC = 180^o ( kề bù)

=> BHN + 120^o = 180^o

=> BHN = 180^o - 120^o = 60^o

Xét t/g BHK và t/g BHN có:

BHK = BHN = 60^o (cmt)

BH là cạnh chung

NBH = KBH (gt)

Do đó, t/g BHK = t/g BHN (g.c.g)

=> BK = BN (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự như vậy ta cũng có: t/g KHC = t/g MHC (g.c.g)

=> KC = MC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => BN + MC = BK + KC = BC (đpcm)

Gọi H là giao điểm của \(\text{NC}\) và \(\text{BM}\)

Vẽ HK là phân giác \(\widehat{BHC}\Rightarrow\widehat{BHK}=\widehat{CHK}=\dfrac{\widehat{BHC}}{2}\)

Có: \(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow60^o+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{ABC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=60^o\)

Mà \(\widehat{NBH}=\widehat{HBK}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{KCH}=\widehat{MCH}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)

Nên \(\widehat{HBK}+\widehat{HCK}=60^o\)

\(\Rightarrow BHC=180^o-\left(HBK+HCK\right)=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BHK}=\widehat{KHC}=\dfrac{\widehat{BHC}}{2}=60^o\)

Có: \(\widehat{BHN}+\widehat{BHC}=180^o\) ( kề bù)

=> BHN + 120o = 180o

=> BHN = 180o - 120o = 60o

Xét t/g BHK và t/g BHN có:

BHK = BHN = 60o (cmt)

BH là cạnh chung

NBH = KBH (gt)

Do đó, t/g BHK = t/g BHN (g.c.g)

=> BK = BN (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự như vậy ta cũng có: t/g KHC = t/g MHC (g.c.g)

=> KC = MC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => BN + MC = BK + KC = BC (đpcm)

-Gọi I là giao điểm của BM và CN.

-Kẻ tia ID là tia phân giác của góc BIC.

Số đo góc chưa chính xác :(

Gọi giao điểm của \(BM\) và \(CN\)là \(O\)

Từ \(O\)kẻ \(OH\)là phân giác \(\widehat{BOC}\)\(\left(H\in BC\right)\)

Xét \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\) (định lí tổng ba góc \(\Delta\))

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-60^o=120^o\)

Ta có:

\(\widehat{OBC}=\widehat{OBA}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\) (\(OB\): phân giác \(\widehat{ABC}\))

\(\widehat{OCB}=\widehat{OCA}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\) (\(OC\): phân giác \(\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

Xét \(\Delta BOC\)có:

\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^o\) (định lí tổng ba góc \(\Delta\))

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=180^o-60^o=120^o\)

Ta có:

\(\widehat{BOH}=\widehat{HOC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\) (\(OH\): phân giác \(\widehat{BOC}\))

Ta có:

\(\widehat{BOC}+\widehat{BON}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{BON}=180^o-120^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BON}=\widehat{BOH}\left(=60^o\right)\)

Ta có:

\(\widehat{BOC}+\widehat{COM}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{COM}=180^o-120^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{HOC}\left(=60^o\right)\)

Xét \(\Delta BON\)và \(\Delta BOH\)có:

\(\widehat{OBN}=\widehat{OBH}\) (\(OB\): phân giác \(\widehat{ABC}\))

\(OB\): chung

\(\widehat{BON}=\widehat{BOH}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta BON=\Delta BOH\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow BN=BH\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta COM\)và \(\Delta COH\)có:

\(\widehat{COM}=\widehat{COH}\) (cmt)

\(OC\) : chung

\(\widehat{MCO}=\widehat{HCO}\) (\(OC\): phân giác \(\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\Delta COM=\Delta COH\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow MC=HC\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

\(BC=BH+HC\)

Mà \(\hept{\begin{cases}BN=BH\\MC=HC\end{cases}}\)

\(\Rightarrow BC=BN+MC\left(đpcm\right)\)

Tia phân giác của \(\widehat{BIC}\)cắt BC ở D.\(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}=60^0\)

=> \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

=> \(60^0+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

=> \(\widehat{B}+\widehat{C}=120^0\)

\(\widehat{B}_1+\widehat{C_1}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

=> \(\widehat{I}_1=\widehat{I}_2=60^0\)

\(\Delta BIC\)có : \(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=60^0\)

=> \(\widehat{BIC}=180^0-60^0=120^0\)

Do đó \(\widehat{I_3}=\widehat{I_4}=60^0\)

Xét \(\Delta BIN\)và \(\Delta BID\)có :

\(\widehat{B_2}=\widehat{B_1}\)

BI cạnh chung

\(\widehat{I_2}=\widehat{I_3}=60^0\)(cmt)

=> \(\Delta BIN=\Delta BID\left(g-c-g\right)\)

=> BN = BD(hai cạnh tương ứng)        (1)

Xét \(\Delta CIM\)và \(\Delta CID\)có :

\(\widehat{C_1}=\widehat{C}_2\)

CI cạnh chung

\(\widehat{I}_1=\widehat{I_4}=60^0\)

=> \(\Delta\)CIM = \(\Delta\)CID(c-g-c)

=> CM = CD(hai cạnh tương ứng)  (2)

Từ (1) và (2) ta có : BN = BD

                                CM = CD

=> BM + CM = BD + CD = BC

Vậy BN + CM = BC

Gọi I là giao điểm của BM và CN . Ta có :  \(\widehat{A}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=180^o-60^o=120^o\)

Do đó : \(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=120^o:2=60^o\)

Vì vậy \(\widehat{I}_1=60^o,\widehat{I}_2=60^o\)

Kẻ tia phân giác của góc BIC , cắt BC ở D . Tam giác BIC có \(\widehat{B}_1+\widehat{C}_1=120^o\) nên góc BIC = \(120^o\) . Do đó \(\widehat{I}_3=\widehat{I}_4=60^o\)

Xét \(\Delta BIN\) và \(\Delta BID\) có :

\(\widehat{B}_2=\widehat{B}_1\)

BI : cạnh chung 

\(\widehat{I}_2=\widehat{I}_3=60^o\)

Suy ra \(\Delta BIN=\Delta BID\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow BN=CD\) ( 2 cạnh tương ứng ) (1) 

Bạn tự chứn minh \(\Delta CIM=\Delta CID\left(g.c.g\right)\Rightarrow CM=CD\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra : BN + CM = BD + CD =BC 

Chúc bạn học tốt !!!

mik nhé  bạn ly !

khó thế bạn minhyf nha

Công chúa giá băng toàn đi copy

      kẻ tia phân giác IK của góc BIC

Ta có : BIC=120 độ ( tự cm)

Tam giác NIB=tam giác KIB(g.c.g) =>BN=BK(1)

tam giác MIC=tam giác KIC(g.c.g)=>CM=CK(2)

Cộng (1),(2) theo vế , được BN+CM=BK+CK=BC(đpcm)

k đi chớ