Question

Cho tam giác ABC có góc A=60 độ, tia phân giác của góc B cắt AC ở M. tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng: BN+CM=BC

Answer 1

Gọi H là giao điểm của NC và BM

Vẽ HK là phân giác BHC => BHK = CHK = BHC/2

Có: A + ABC + ACB = 180^o

=> 60^o + ABC + ACB = 180^o

=> ABC + ACB = 180^o - 60^o = 120^o

=> ABC/2 + ACB/2 = 60^o

Mà NBH = HBK = ABC/2; KCH = MCH = ACB/2

Nên HBK + HCK = 60^o

=> BHC = 180^o - (HBK + HCK) = 180^o - 60^o = 120^o

=> BHK = KHC = BHC/2 = 60^o

Có: BHN + BHC = 180^o ( kề bù)

=> BHN + 120^o = 180^o

=> BHN = 180^o - 120^o = 60^o

Xét t/g BHK và t/g BHN có:

BHK = BHN = 60^o (cmt)

BH là cạnh chung

NBH = KBH (gt)

Do đó, t/g BHK = t/g BHN (g.c.g)

=> BK = BN (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự như vậy ta cũng có: t/g KHC = t/g MHC (g.c.g)

=> KC = MC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => BN + MC = BK + KC = BC (đpcm)

 

 

 

Answer 2

Gọi H là giao điểm của \(\text{NC}\) và \(\text{BM}\)

Vẽ HK là phân giác \(\widehat{BHC}\Rightarrow\widehat{BHK}=\widehat{CHK}=\dfrac{\widehat{BHC}}{2}\)

Có: \(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow60^o+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{ABC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=60^o\)

Mà \(\widehat{NBH}=\widehat{HBK}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{KCH}=\widehat{MCH}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)

Nên \(\widehat{HBK}+\widehat{HCK}=60^o\)

\(\Rightarrow BHC=180^o-\left(HBK+HCK\right)=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BHK}=\widehat{KHC}=\dfrac{\widehat{BHC}}{2}=60^o\)

Có: \(\widehat{BHN}+\widehat{BHC}=180^o\) ( kề bù)

=> BHN + 120o = 180o

=> BHN = 180o - 120o = 60o

Xét t/g BHK và t/g BHN có:

BHK = BHN = 60o (cmt)

BH là cạnh chung

NBH = KBH (gt)

Do đó, t/g BHK = t/g BHN (g.c.g)

=> BK = BN (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự như vậy ta cũng có: t/g KHC = t/g MHC (g.c.g)

=> KC = MC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => BN + MC = BK + KC = BC (đpcm)