Gọi ƯCLN(2n + 5, 3n + 7) là y. Ta có:

2n + 5 chia hết cho y

3n + 7 chia hết cho y

=> 3n + 7 - (2n + 5) chia hết cho y

=> 14 chia hết cho y

Mà 2n + 5 là số lẻ không chia hết cho 14

=> ƯCLN(2n + 5, 3n + 7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 lầ hai số nguyên tố cùng nhau

gọi d là ƯCLN (2n+5 ; n+2) (d thuộc N)

=> 2n+1 chia hết cho d

và n+2 chia hết  cho d  (1)

vì n + 2 chia hết cho d  =>2(n+2) chia hết cho d hay 2n +4 chia hết cho d(2)

từ (1) (2) =>  (2n+ 5)-(2n+4) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d=1

=> ƯCLN (2n+5;n+2) =1

 =>2n+5; n+2 là  2 số nt cùng nhau (đpcm)

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Gọi d \(\in\) ƯC( 2n + 5;n + 2)

\(\text{⇒2n+5−2(n+2)}\) chia hết cho dd

hay 1chia hết cho d

\(\text{⇒d=1}\)

vậy 2n+5 và n+2 nguyên tố cùng nhau

Gọi d ∈∈ ƯC( 2n + 5;n + 2)

⇒2n+5−2(n+2)⇒2n+5−2(n+2) chia hết cho dd

hay 1chia hết cho d

⇒d=1⇒d=1

vậy 2n+5 và n+2 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN ( 2n + 3 , 3n + 5 ) là d.

Ta có : 2n + 3 chia hết cho d.

           3n + 5 chia hết cho d.

=> 3( 2n + 3 ) chia hết cho d.

=> 2(3n + 5 ) chia hết cho d.

=> 6n + 9 chia hết cho d.

=> 6n +10 chia hết cho d.

Vậy ( 6n + 10 ) - ( 6n + 9 ) chia hết cho d.

      => 1 chia hết cho d.

=> d thuộc ước của 1.

=> d = 1.

=> ƯCLN ( 2n + 3 , 3n + 5 ) = 1.

Vậy 2n + 3 và 3n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

trong chtt có 

tick nha

tham khảo câu hỏi tương tự nha bạn

2n + 2 = 4n

6n + 5 = 11n

=> ƯCLN(4n, 11n) = 1

<=> ƯCLN(2n + 2, 6n + 5) = 1

Vì 2, 5 là số nguyên tố mà chỉ duy nhất 6 là hợp số nên 6 + 5 = 11 là số nguyên tố

=> ƯCLN(2n + 2, 6n + 5) = 1

=> ĐPCM

Vì \(n^2+n\) là số chẵn

và 2n+1 là số lẻ

 nên \(n^2+n\) và 2n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau 

Hình như  sai ý đề bài rồi ạ, n^2+n là số chẵn thì nó cũng có thể chia hết cho 3, 2n+1 là số lẻ thì nó cũng có thể chia hết cho 3 mà ạ, nguyên tố cùng nhau là ước chung lớn nhất của nó = 1 ạ