a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số x² và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)

Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)

Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\)  liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng  \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)

a) • \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\)

ĐKXĐ: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

• \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \)

ĐKXĐ: \(4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\)

Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ;4} \right]\).

b) • Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\).

Tương tự ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: Hàm số không xác định tại điểm \({x_0} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 1}} =  - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

• Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 - x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x}  = \sqrt {4 - {x_0}}  = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\).

Ta có: \(g\left( 4 \right) = \sqrt {4 - 4}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {4 - x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x}  = \sqrt {4 - 4}  = 0 = g\left( 4 \right)\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 4\).

Hàm số không xác định tại mọi \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\).

• Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sin x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

• Xét hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \)

ĐKXĐ: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) có tập xác định \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1}  = \sqrt {1 - 1}  = 0 = g\left( 1 \right)\)

Do đó hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

• Xét hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {2x - \sin x} \right)\sqrt {x - 1} \)

Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

• Xét hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{2x - \sin x}}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

d: ĐKXĐ: \(x^2-1< >0\)

=>\(x^2\ne1\)

=>\(x\notin\left\{1;-1\right\}\)

Vậy: TXĐ là D=R\{1;-1}

b: ĐKXĐ: \(2-x^2>0\)

=>\(x^2< 2\)

=>\(-\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\)

Vậy: TXĐ là \(D=\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\)

a: ĐKXĐ: \(x-1>0\)

=>x>1

Vậy: TXĐ là \(D=\left(1;+\infty\right)\)

c: ĐKXĐ: \(x^2+x-6>0\)

=>\(x^2+3x-2x-6>0\)

=>\(\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+3>0\\x-2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x>-3\end{matrix}\right.\)

=>x>2

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+3< 0\\x-2< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< -3\\x< 2\end{matrix}\right.\)

=>x<-3

Vậy: TXĐ là \(D=\left(2;+\infty\right)\cup\left(-\infty;-3\right)\)

e: ĐKXĐ: \(x^2-2>0\)

=>\(x^2>2\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x>\sqrt{2}\\x< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: TXĐ là \(D=\left(-\infty;-\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2};+\infty\right)\)

f: ĐKXĐ: \(\sqrt{x-1}>0\)

=>x-1>0

=>x>1

Vậy: TXĐ là \(D=\left(1;+\infty\right)\)

g: ĐKXĐ: \(x^2+x-6>0\)

=>\(\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\)

Vậy: TXĐ là \(D=\left(2;+\infty\right)\cup\left(-\infty;-3\right)\)

a) \(D=(0;+\infty)\backslash\left\{1\right\}\)

b) \(D=[2;+\infty)\)

a) \(y=x^3-2x^2+x-1\)

TXĐ : \(x\inℝ\)

b) \(y=\frac{x-1}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

TXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\inℝ\\x\ne-1\\x\ne3\end{cases}}\)

c) \(y=\frac{1}{x^2-2x+3}\)

TXĐ : \(x\inℝ\)