a: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC=24/2=12cm

ΔOHB vuông tại H

=>\(OH^2+HB^2=OB^2\)

=>\(OH^2+12^2=15^2\)

=>\(OH^2=15^2-12^2=81\)

=>OH=9(cm)

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ΔOBC cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH là đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra O,H,A thẳng hàng

c:Xét  ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OA=\dfrac{OB^2}{OH}=\dfrac{15^2}{9}=25\left(cm\right)\)

ΔOBA vuông tại B

=>\(OB^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2+15^2=25^2\)

=>\(BA^2=625-225=400\)

=>BA=20(cm)

AB=AC

mà AB=20cm

nên AC=20cm

d: Xét ΔOBM vuông tại B và ΔOCN vuông tại C có

OB=OC

\(\widehat{BOM}=\widehat{CON}\)

Do đó: ΔOBM=ΔOCN

=>BM=CN

Xét ΔAMN có \(\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AC}{CN}\)

nên BC//MN

AB+BM=AM

AC+CN=AN

mà AB=AC và BM=CN

nên AM=AN

=>\(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\)

Xét tứ giác BCNM có BC//MN

nên BCNM là hình thang

Hình thang BCNM có \(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\)

nen BCNM là hình thang cân

a) Xét tam giác vuông ABO có đường cao BK, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: 

\(OB^2=OK.OA\Rightarrow5^2=OK.10\Rightarrow OK=2,5\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác cân OBC có OK là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Vậy thì \(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

Suy ra \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ABO}=90^o\)

Vậy nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta thấy ngay \(\Delta KOI\sim\Delta HOA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OA}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI=\frac{OK.OA}{OH}\)

Xét tam giac vuông ABO có BK là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(OK.OA=OB^2=R^2\) không đổi. Lại có OH cũng không đổi (bằng khoảng cách từ O tới đường thẳng xy)

Vậy nên \(OI=\frac{R^2}{OH}\) không đổi.

Vậy khi A di chuyển trên đường thẳng xy thì độ dài đoạn thẳng OI không đổi.

a: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC=12cm

=>\(OH=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

=>A nằm trên trung trực của BC

mà OH là trung trực của BC

nên O,H,A thẳng hàng

c: OA=OB^2/OH=15^2/9=25cm

=>AB=AC=20cm

a: Xét ΔOAB có \(cosAOB=\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\dfrac{20^2+20^2-32^2}{2\cdot20\cdot20}=\dfrac{-7}{25}\)

=>góc AOB=106 độ

AH=BH=32/2=16cm

=>OH=12cm

b: Xét tứ giác OAMB có

góc OAM+góc OBM=180 độ

nên OAMB là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

nên MA=MB

=>M nằm trên trung trực của AB

mà OH là trung trực của AB

nên O,H,M thẳng hàng

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà CA⊥OH

nên OH//BC

b: Xét (O) có

OH là một phần đường kính

AC là dây

OH⊥AC tại H

Do đó: H là trung điểm của AC

Xét ΔMAC có 

MH là đường trung tuyến

MH là đường cao

Do đó: ΔMAC cân tại M

Xét ΔOAM và ΔOCM có

OA=OC

MA=MC

OM chung

Do đó:ΔOAM=ΔOCM

Suy ra: \(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90^0\)

hay MA là tiếp tuyến của (O)

a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, IK = 1 2 CK =  1 2 AC.sinα = R.cosα.sinα

d, Giả sử BI cắt AM tại N. Vì IK//AM => MO = OP

=>  1 O I 2 = 1 O M 2 + 1 O N 2

=  1 O P 2 + 1 O N 2 = 1 O B 2 => M ≡ N