Xét dãy gồm \(2014\) số hạng :

7; 77; 777 ;........; 777.......777

Lấy \(2014\) số hạng của dãy chia cho \(2013\) ta được \(2014\) số dư nhận các giá trị là :

0; 2; 3; 4; .................. ; 2012 ( 2013 giá trị)

\(\Rightarrow\) Có ít nhất 2 số dư bằng nhau

\(\Rightarrow\) Ở dãy trên có 2 số đồng dư với nhau khi chia cho 2013

\(\Rightarrow\) Hiệu 2 số đó có dạng :

\(77........777000.....000\) \(⋮\) \(2013\)

\(777.......777.10^k\) \(⋮\) \(2013\)

\(\Rightarrow77...777\) \(⋮\) \(2013\) ( do \(10^k\) và \(2013\) nguyên tố cùng nhau )

Vậy tồn tại số có dạng \(77........7777\) chia hết cho \(2013\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bn học tốt!!

@ngonhuminh,@Nguyễn Huy Tú,@Ace Legona, và mọi người giúp em với!!

olm là con  chó

+) Chọn dãy số gồm 2014 số 

 1,11,111,....,111..11

                 (2014 cs1)

+) Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho2013

 Giả sử số đó là 111...11-111...11    (m>n)

                           (m cs1) (n cs 1)

=>111..1  -  11...1 chia hết cho 2013

=111...100..0    chia hết cho 2013

(m-n cs 1)(n cs0)

=111..1.10ⁿ

(m-n cs 1)

Mà 10ⁿ ko chia hết cho 2013 

=>111..1 chia hết cho 2013 => ĐPCM (điều phải cm)

(m-n cs 1)

cho mình xin k nha

Lời giải:
Cho $n=1$ thì $2023^n-1=2023^1-1=2022\vdots 2022$

Thực chất là với  mọi số $n\in\mathbb{N}$ thì $2023^n-1\vdots 2022$