1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:

e) (2² : 4 ) . 2ⁿ = 32

                                     Bài giải

=> (4:4).2ⁿ=32

=> 1.2ⁿ=32

=> 2ⁿ=32

=> 2ⁿ=2⁵

=> n=5

e) (2² : 4 ) . 2ⁿ = 32

=>(2²:2²)*2ⁿ=32

=>2ⁿ=32

=>2ⁿ=2⁵

=>n=5

a) \(\left(2^2:4\right).2^n=32\)

\(\Rightarrow\left(2^2:2^2\right).2^n=32\)

\(\Rightarrow2^n=32\)

\(\Rightarrow2^n=2^5\)

\(\Rightarrow n=5\)

Vậy n = 5

Câu 17

Để n - 1 là ước của 3n + 6 thì (3n + 6) ⋮ (n - 1)

Ta có:

3n + 6 = 3n - 3 + 9 = 3(n - 1) + 9

Để (3n + 6) ⋮ (n - 1) thì 9 ⋮ (n - 1)

⇒ n - 1 ∈ Ư(9) = {-9; -3; -1; 1; 3; 9}

⇒ n ∈ {-8; -2; 0; 2; 4; 10}

Mà n là số tự nhiên

⇒ n ∈ {0; 2; 4; 10}

Câu 22

A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰²⁵

⇒ 3A = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰²⁶

⇒ 2A = 3A - A

= (3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰²⁶) - (3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰²⁵)

= 3²⁰²⁶ - 3

⇒ 2A + 3 = 3²⁰²⁶ - 3 + 3

⇒ 2A + 3 = 3²⁰²⁶

Mà 2A + 3 = 3ⁿ

⇒ 3ⁿ = 3²⁰²⁶

⇒ n = 2026

Câu 20:

a) x + 198 = 203

x = 203 - 198

x = 5

b) 3(x - 4) - 123 = 15

3(x - 4) = 15 + 123

3(x - 4) = 138

x - 4 = 138 : 3

x - 4 = 46

x = 46 + 4

x = 50

c) 3.4ˣ⁻² - 156 = 6²⁰²⁴ : 6²⁰²²

3.4ˣ⁻² - 156 = 6²

3.4ˣ⁻² - 156 = 36

3.4ˣ⁻² = 36 + 156

3.4ˣ⁻² = 192

4ˣ⁻² = 192 : 3

4ˣ⁻² = 64

4ˣ⁻² = 4³

x - 2 = 3

x = 3 + 2

x = 5

d) 2ˣ⁺¹ - 2ˣ = 32

2ˣ.(2 - 1) = 2⁵

2ˣ = 2⁵

x = 5

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Giả sử 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = a² (a  N) thì

2ⁿ = a² – 48² = (a + 48) (a – 48)

2^p. 2^q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q

      a + 48 = 2^p  2^p - 2^q = 96 2^q (2^p-q – 1) = 2⁵.3

a – 48 = 2^q

 q = 5 và p – q =  2  p = 7

 n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có: 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 80²

\(2.32\ge2^n>8\\ \Rightarrow2^6\ge2^n>2^3\\ \Rightarrow n\in\left\{4;5;6\right\}\)

\(2.32=2.2^5=2^6\ge2^n>8=2^3\)

Do \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{6;5;4\right\}\)

Ta có: A= \(2^8+2^{11}+2^n=\)\(=2304+2^n=9.256+2^n=2^8\left(9+2^{n-8}\right)\)

Vây để biểu thức là số hữu tỷ thì A là số chính phương, vậy \(9+2^{n-8}=m^2\)

=> \(2^{n-8}=\left(m-3\right)\left(m+3\right)\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}m+3=2^k\\m-3=2^l\end{cases}}\), Nếu k\(\ge\)4, ta có:\(6=\left(m+3\right)-\left(m-3\right)=2^k-2^l\ge2^k-2^{k-1}\ge8\)(vô lý)

Vậy k=1,2,3

thay k=3 thì m=5,n=12

Vậy n=12

Cách 2: Đặt \(\left(2^8+2^{11}+2^n\right)=\left(2^a+2^b\right)^2=2^{2a}+2^{a+b+1}+2^{2b}\)

Vai trò của a,b như nhâu nên

Từ đây dễ dàng chọn: 2a=8 => a=4 => b=6

ko pit

a, Ta có : 8 ⋮ n + 1

=> n + 1∈ Ư(8) ∈ {1;2;4;8} ( Vì đề bạn là số tự nhiên nha)

=> n ∈ {0;1;3;7}

b, 10n + 14 ⋮ 2n + 2

=> (10n + 10) + 4 ⋮ 2n + 2

=> 5(2n + 2) + 4 ⋮ 2n + 2

Vì 5(2n + 2) ⋮ 2n + 2 nên 4 ⋮ 2n + 2

=> 2n + 2 ∈ Ư(4) ∈ {1;2;4)

=> 2(n + 1) ∈ {1;2;4}

Mà 2(n + 1) luôn chẵn => 2(n + 1) = 2;4

=> n = 0;1

Giúp mình với ạ. Mình đang cần gấp!!!

Đặt A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = (2⁴)².(1 + 8 + 2^n-8) = (2⁴)².(9 + 2^2n-8) 
Để A là SCP thì (9 + 2^n-8) phải là SCP 
Đặt k² = 9 + 2^2n-8 
=> k² - 3² = 2^n-8
=> (k - 3)(k + 3) = 2^n-8 (*) 
Xét hiệu (k - 3) - (k + 3) = 6 
=> k - 3 và k + 3 là các lũy thừa của 2 và có hiệu là 6 
=> k + 3 = 8 và k - 3 = 2 
=> k = 5; thay vào (*) ta có: 2.3 = 2^n-8
=> n = 12 
Thử lại ta có 2⁸ + 2¹¹ + 2¹² = 80² (đúng)