\(a,n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\\ =n^2+5n-n^2+n+6=6n+6=6\left(n+1\right)⋮6\)

\(b,\) Sửa đề:

\(b,\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\\ =n^2-1-n^2+12n-35\\ =12n-36=12\left(n-3\right)⋮12\)

a: Ta có: \(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2-2n+3n+6\)

\(=6n+6⋮6\)

( n - 1 )( n + 1 ) - ( n - 7 )( n - 5 ) 

= ( n^2 + n - n - 1 ) - ( n^2 - 5n - 7n + 35 )

= n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35

= -1 + 12n - 35

= 12n - 36

= 12( n - 3 ) \(⋮12\)

\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\)

\(=n^2-1-\left(n^2-12n+35\right)=n^2-1-n^2+12n-35\)

\(=12n-36=12\left(n-3\right)\)\(⋮12\)(đpcm).

a) Ta có (n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5) 

= n² - 1 - (n² - 12n + 35)

= n² - 1 - n² + 12n - 35

= 12n - 36 = 12(n - 3) \(⋮12\forall n\inℤ\)

b) Ta có n(2n - 3) - 2n(n + 2) 

= 2n² - 3n - 2n² - 2n 

= - 5n \(⋮5\forall n\inℤ\)

1:

2n^2+5n-1 chia hết cho 2n-1

=>2n^2-n+6n-3+2 chia hết cho 2n-1

=>2n-1 thuộc {1;-1;2;-2}

mà n nguyên

nên n=1 hoặc n=0

2:

a: A=n(n+1)(n+2)

Vì n;n+1;n+2 là 3 số liên tiếp

nên A=n(n+1)(n+2) chia hết cho 3!=6

b: B=(2n-1)[(2n-1)^2-1]

=(2n-1)(2n-2)*2n

=4n(n-1)(2n-1)

Vì n;n-1 là hai số nguyên liên tiếp

nên n(n-1) chia hết cho 2

=>B chia hết cho 8

c: C=n^2+14n+49-n^2+10n-25=24n+24=24(n+1) chia hết cho 24

5ⁿ⁺³-3ⁿ⁺³+5ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹=5ⁿ.125+5ⁿ.25-(3ⁿ.27+3ⁿ.3)

                                 =5ⁿ.150-3ⁿ.30

                                =(5ⁿ⁺¹-3ⁿ).30

mà 5\(\equiv\)3 (mod 2) =>5ⁿ⁺¹\(\equiv\)3(mod 2)

      3\(\equiv\)1(mod 2)

nên 5ⁿ⁺¹-3ⁿ chia hết cho 2

nên (5ⁿ⁺¹-3ⁿ).30 chia hét cho 60

Vậy...

Ta có: \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}\)

\(=5^n.5^3-3^n.3^3+5^n.5^2-3^n.3\)

\(=5^n\left(5^3+5^2\right)-3^n\left(3^3+3\right)\)

\(=5^n.150-3^n.30\) 

\(=30\left(5^n.5-3^n\right)\)

Ta có: với mọi n thuộc n thì \(5^n.5;3^n\)là hai số lẻ

=>  \(5^n.5-3^n⋮2\)

=> \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}\)\(=30\left(5^n.5-3^n\right)⋮30.2\)

=> \(5^{n+3}-3^{n+3}+5^{n+2}-3^{n+1}⋮60\) với mọi số tự nhiên n.