\(\frac{p+1}{2}\)là số chính phương nên \(p+1\)phải chia hết cho 4.

Tương tự \(\frac{p^2+1}{2}\)là số chính phương nên \(p^2+1\)chia hết cho 4.

Do đó cả p và p² đều chia 4 dư 3.

Đặt \(p=4k+3\)\(\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow p^2=\left(4k+3\right)^2=16k^2+24k+9=4\left(4k^2+6k+2\right)+1\)chia 4 dư 1.

Do đó không thể tồn tại p để cả p và p² chai cho 4 có cùng 1 số dư. Do đó không có p thỏa mãn.

7 vẫn phù hợp mà

Trần Thùy Dung sai rồi, thử 2 vẫn đúng :))

Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N)

Ta có:

a chia 5 dư 1

⇒ a+4 chia hết cho 5

a chia 7 dư 3

⇒ a+4 chia hết cho 7

Mà (5,7) = 1

⇒ a+4 chia hết cho 35

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất 

⇒a+4 = 35

⇒a=35-4

⇒a=31

Vậy số tự nhiên cần tìm là 31

          1)Gọi số x là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm, theo đề bài ta có :

x=5a+1 ; x=7b+3

Nên 5a+1=7b+3

5a-7b=2

Ta thấy 5.6-7.4=2

Nên a=6; b=4

Vậy x=31

2) Theo đề bài : p² + 4 và  p² - 4 đều là số nguyên tố

⇒ (p² + 4) và (p² - 4) ⋮ 1 và chính nó

 ⇒ (p² + 4) và (p² - 4) ϵ {1;2;3;5;7;11;13...}

Ta thấy khi (p² + 4) = 13 và (p² - 4) = 5 thì p=3

Vậy p=3

Với \(p=2\) thì \(2p^4-p^2+16=44\) không là số chính phương. 

Với \(p=3\) thì \(2p^4-p^2+16=169\) là số chính phương.

Với \(p\ge5\), suy ra \(p⋮̸3\). Dễ dàng kiểm chứng \(p^2\equiv1\left(mod3\right)\) còn \(2p^4\equiv2\left(mod3\right)\). Lại có \(16\equiv1\left(mod3\right)\) nên \(2p^4-p^2+16\equiv2\left(mod3\right)\), do đó \(2p^4-p^2+16\) không thể là số chính phương.

 Như vậy, số nguyên tố \(p\) duy nhất thỏa mãn ycbt là \(p=3\)

Mình quên mất là không cần xét \(p=2\) đâu vì đề bài cho \(p\) nguyên tố lẻ.

1: Gọi số cần tìm là a

Theo đề, ta có: a-1 chia hết cho 5 và a-3 chia hết cho 7

mà a nhỏ nhất

nên a=31

2: TH1: p=3

=>p^2+4=13 và p^2-4=5

=>NHận

Th2: p=3k+1

p^2-4=(3k+1-2)(3k+1+2)

=3(k+1)(3k-1) 

=>Loại

TH3: p=3k+2

=>p^2-4=9k^2+12k+4-4

=9k^2+12k=3(3k^2+4k) 

=>Loại

Đặt \(\frac{p+1}{2}=x^2;\frac{p^2+1}{2}=y^2\left(x;y\inℕ^∗;x< y\right)\)

\(\Rightarrow p+1=2x^2;p^2+1=2y^2\) => p là số lẻ

Ta dễ thấy rằng \(2x^2\equiv2y^2\left(modp\right)\) mà p lẻ nên \(x^2\equiv y^2\left(modp\right)\)

Mặt khác ta có:\(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)⋮p\Rightarrow x+y=p\) ( vì x < y < p )

Từ đó ta dễ có rằng \(p^2+1=2\left(p-x\right)^2=2p^2-4px+2x^2=2p^2-4px+p+1\)

\(\Rightarrow4px=p^2+p\Leftrightarrow4x=p+1\Rightarrow2x^2=4x\Rightarrow x=0\left(h\right)x=2\Rightarrow p=-1\left(h\right)p=7\)

Mà p là số nguyên tố nên p = 7

Vậy p = 7

Vì P là số nguyên tố, P là scp 

=> Vô lý

Vậy không tìm được giá trị nào

Vì P là số nguyên tố, P là scp 

=> Vô lý

Vậy không tìm được giá trị nào

Vì P là số nguyên tố, P là scp 

=> Vô lý

Vậy không tìm được giá trị nào