Gọi d là ƯCLN(2n+1;3n+1)

=>2n+1 chia hết cho d và 3n+1 chia hết cho d

=>3(2n+1)chia hết cho d và 2(3n+1) chia hết cho d

=>6n+3 chia hết cho d và 6n+2 chia hết cho d

=>(6n+3)-(6n+2) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d;ƯCLN(2n+1;3n+1)=1

=>ƯC(2n+1;3n+1)=1

Gọi A là UC(2n+1,3n+1)

\(\rightarrow\)2n+1\(⋮\)A\(\Rightarrow\)3(2n+1)\(⋮\)A

\(\rightarrow\)3n+1\(⋮\)A\(\Rightarrow\)2(3n+1)\(⋮\)A

Từ đó suy ra:

3(2n+1)-2(3n+1)\(⋮\)A

6n+3-6n-2\(⋮\)A

1\(⋮\)A

\(\Rightarrow\)A=1

Vậy UC(2n+1,3n+1)=1

Gọi a là ước chung 2n + 1 và 3n +1 , a ∈ N

Theo bài ra ta có :

2n + 1 ⋮ a ; 3n + 1 ⋮ a

⇒ 3 ( 2n + 1 ) ⋮ a ; 2 ( 3n + 1 )

⇒ 6n + 3 ⋮ a ; 6n + 2 ⋮ a

⇒ ( 6n + 3 ) - ( 6n + 2 ) ⋮ a

⇒ 1 ⋮ a

⇒ a ∈ Ư ( 1 ) = { 1 ; -1 }

Vì a ∈ N nên a = 1

Vậy ước chung của 2n + 1 và 3n + 1 là 1

Gọi ƯC(n+3,2n+5) là d

Ta có: n+3 ⋮ d => 2(n+3) ⋮ d => 2n+6 ⋮ d

2n+5 ⋮ d

=> 2n+6 - (2n+5) ⋮ d

=> 2n+6 - 2n - 5 ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

=>ƯC(n+3,2n+5) = 1

Gọi d thuộc ước chung của n+3 ; 2n+5 ( d thuộc Z )
=> + ) \(n+3⋮d\) \(\Rightarrow\) 2.(n+3) \(⋮d\)
+) 2n+5 \(⋮\)d
=> 2(n+3) - (2n +5) \(⋮d\)
<=> (2n+6 -2n-5) \(⋮d\)
<=> 1 \(⋮d\) => d thuộc { 1 : -1 }

Vậy ƯC (n+3 và 2n+5) = -1 và 1

a: Gọi d=UCLN(2n+1;6n+5)

\(\Leftrightarrow6n+5-3\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow2⋮d\)

mà 2n+1 là số lẻ

nên n=1

=>ƯCLN(2n+1;6n+5)=1

=>ƯC(2n+1;6n+5)={1;-1}

b: Gọi d=ƯCLN(2n+1;3n+1)

\(\Leftrightarrow6n+3-6n-2⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

=>d=1

=>ƯC(2n+1;3n+1)={1;-1}

c: Gọi d=UCLN(5n+3;2n+1)

\(\Leftrightarrow10n+6-10n-5⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

=>ƯC(5n+3;2n+1)={1;-1}

Gọi ước chung của 2n+1 và 3n+1 là d (d \(\in N\)).Ta có :

\(2n+1\in B\left(d\right)\Rightarrow3\left(2n+1\right)hay\)\(6n+3\in B\left(d\right)\)

\(3n+1\in B\left(d\right)\Rightarrow 2\left(3n+1\right)hay\)\(6n+2\in B\left(d\right)\)

=> \(\left(6n+3\right)-\left(6n+2\right)=1\)\(\in B\left(d\right)\)=> d = 1 => \(ƯC\left(2n+1;3n+1\right)=\left\{1\right\}\)

gọi ƯC ( 2n + 1 ; 3n +1 ) = d

      + 2n+1 chia hết cho d => 3(2n +1) chia hết cho d    

        hay 6n +2 chia hết cho d   (1)

      + 3n + 1 chia hết cho d => 2(3N +1 ) chia hết cho d 

         hay 6n +2 chia hết cho d   (2)

  từ (1) và (2)  => ( 6n + 3 - 6n - 2 ) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d 

=> d là ước của 1 

=> d thuộc tập hợp 1 ; -1 

vậy tập hợp ƯC( 3n +1 ; 2n +1 ) = 1 ; -1

goi UC(2n+1;3n+1)=d 
Ta co:+/2n+1 chia het cho d=>3(2n+1) chia het cho d 
hay 6n+3 chia het cho d(1) 
+/3n+1 chia het cho d=>2(3n+1) chia het cho d 
hay 6n+2 chia het cho d(2) 
Tu (1) va (2) =>(6n+3-6n-2) chia het cho d 
=>1 chia het cho d 
=>d la uoc cua 1 
=>d thuoc tap hop 1;-1 
=>tap hop uoc chung cua 2n+1 va 3n+1 la -1;1

Ta gọi ước chung của 2n+1 và 3n+1 là a : ta có 

2n+1 chia hết cho a => 3(2n+1) chia hết cho a => 6n+3 chia hết cho a  

3n+1 chia hết cho a => 2(3n+1) chia hết cho a => 6n+2 chia hết cho a 

Ta có : (6n+3) - (6n+2) chia hết cho a ( do 6n +3 và 6n +2 ) đều chia hết cho a  

=> 1 chia hết cho a => a thuộc ước của 1

mà ước của 1 la -1 va 1 

do1>-1 => ước chung lớn nhất của 2n+1 và 3n + 1 là 1