Ta có: OC ⊥ d (tính chất tiếp tuyến)

AE ⊥ d (gt)

BF ⊥ d (gt)

Suy ra : OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

Suy ra: CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều)

Ta có: AE // OC

Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE

a. Ta có: \(OC\perp d\)(tính chất tiếp tuyến)

\(AE\perp d\) (gt)

\(BF\perp d\) (gt)

Suy ra : OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

Suy ra: CE = CF ( tính chất đường thẳng song song cách đều )

b. Ta có: AE // OC

\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{EAC}\)( hai góc so le trong ) ( 1 )

Ta có : \(OA=OC\left(=R\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OAC\)cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)( 2 )

Từ (1)(2) suy ra : \(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE

c. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90^o

Tam giác ABC vuông tại C có \(CH\perp AB\)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

CH² = HA . HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có :

\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : \(\Delta ACH=\Delta ACE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có :

\(\widehat{AHC}=\widehat{BFC}=90^o\)

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra:  \(\Delta BCH=\Delta BCF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: CH² = AE . BF

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90 °

Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

C H 2 = HA.HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : ∆ ACH =  ∆ ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có:

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra:  ∆ BCH =  ∆ BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  C H 2  = AE.BF

Gọi tâm đường tròn đường kính AB là O

a) Xét (O) có AB là đường kính

nên O là trung điểm của AB

Ta có: OC⊥EF(EF là tiếp tuyến tại C của (O))

BF⊥FE(gt)

AE⊥FE(gt)

Do đó: AE//OC//BF(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác AEFB có AE//BF(cmt)

nên AEFB là hình thang có hai đáy là AE và BF(Định nghĩa hình thang)

Hình thang AEFB(AE//FB) có 

O là trung điểm của AB(cmt)

OC//AE//BF(cmt)

Do đó: C là trung điểm của EF(Định lí 3 đường trung bình của hình thang)

hay CE=CF(đpcm)

b) Vì OC//AE(cmt)

nên \(\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\)(hai góc so le trong)(1)

Xét ΔOAC có OA=OC(=R)

nên ΔOAC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)(Hai góc ở đáy)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

hay \(\widehat{EAC}=\widehat{BAC}\)

mà tia AC nằm giữa hai tia AE,AB

nên AC là tia phân giác của \(\widehat{EAB}\)(đpcm)

s

a) VÌ: \(OC\perp EF\left(gt\right)\)

\(AE\perp EF\left(gt\right)\)

=> OC//AE

=> \(\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\) ( cặp góc sole trong) (1)
Vì: OC=OA(gt)

=> ΔOAC cân tại O

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\) (2)

Từ (1);(2) suy ra:

\(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

=>AC là tia pg của \(\widehat{BAE}\)

b)Chứng minh tương tự như câu a ta có: \(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)

Xét ΔAEC và ΔAHC có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)

AC:cạnh chung

\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)

=>ΔAEC=ΔAHC ( cạnh huyền -góc nhọn)

=>AE=AH

Xét ΔCHB và ΔCFB có:

\(\widehat{CHB}=\widehat{CFB}=90^o\)

BC:cạnh chung

\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\left(cmt\right)\)

=> ΔCHB=ΔCFB(ch-gn)

=> BF=HB

Xét ΔABC có: OA=OB=OC

=> ΔABC cân tại C

=> \(CH^2=AH\cdot BH\)

Hay: \(CH^2=AE\cdot BF\)