Ta có:\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+b+a}\)

\(=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy giá trị của mỗi tỉ số là:\(\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{a}{a+b}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{1}{2}\)

Xét 2 trường hợp: Nếu a+b+c = 0

                    Và Nếu a+b+c = \(\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\),Xét 2 TH sau:

+Nếu a+b+c \(\ne\) 0 thì theo t/c dãy tỉ số=nhau:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{\left(a+a\right)+\left(b+b\right)+\left(c+c\right)}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

+Nếu a+b+c = 0 thì a+b=-c ; b+c=-a;c+a=-b

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{a}{-a}=1;\frac{b}{a+c}=\frac{b}{-b}=-1;\frac{c}{a+b}=\frac{c}{-c}=-1\)

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=-1\)

Vậy............

1./ Nếu a + b + c = 0 

\(\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b+c}=-1\)

=> Giá trị các tỷ số đó = -1.

2./ Nếu a + b + c khác 0 thì:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Giá trị các tỷ số đó = 1/2

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{b+a}\)

\(=\frac{a-b-c}{b+c-a-c-b-a}\)

\(=\frac{a-b-c}{-2a}\)

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{a-b-c}{-2a}\)

\(=>\frac{b}{a+c}=\frac{a-b-c}{-2a}\)

\(=>\frac{c}{b+a}=\frac{a-b-c}{-2a}\)

Từ \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ  số bằng nhau ta có 

\(\frac{a}{b+c}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Tương tự \(\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow2a=b+c\)
\(\Rightarrow2b=c+a\)

\(\Rightarrow2c=a+b\)

ta có hpt:

\(\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}\hept{\begin{cases}b=2a-c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}}}\)

thế b ta đc

\(\hept{\begin{cases}4a-2c=c+a\\2c=a+2a-c\end{cases}\hept{\begin{cases}3a-3c=0\\3c=3a=0\end{cases}\Rightarrow}}a=c\)

\(b=2a-c=a\)

\(\Rightarrow a=b=c\)vậy pt vô số nghiệm

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\)

 \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{b+c}\)=\(\frac{b}{a+c}\)=\(\frac{c}{a+b}\)=\(\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}\)= \(\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{a}{b+c}\)=\(\frac{b}{a+c}\)=\(\frac{c}{a+b}\)=\(\frac{1}{2}\)

T i c h cho mình nha

cho 3 tỉ số bằng nhau thì làm sao hả Thỏ Nghịch Ngợm

\(\frac{1a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\)

Không xác định vì không thể chia cho 0

Nếu : \(a+b+c\ne0\) thì theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Nếu : a+b+c = 0 thì b+c = - a ; c+a = - b ; a+b= - c nên mỗi tỉ số : \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=-1\)

ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b++c\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy giá trị mỗi tỉ số là \(\frac{1}{2}\)

ta có \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

vì =>\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\left(b+c\right);b=\frac{1}{2}\left(c+a\right);c=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b=c+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}a\Leftrightarrow\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=c\left(1\right)\)

\(b+c=a+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}b\Leftrightarrow\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=a\left(2\right)\)

\(c+a=b+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c\Leftrightarrow\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c=b\left(3\right)\)

Từ (1);(2) và (3)

=> a=b=c (đpcm)