Cho ba số a, b, c nằm trong khoảng từ 1 đến 2. Chứng minh (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) bé hơn hoặc bằng 1. Bạn nào giúp mình với
Những câu hỏi liên quan
mn giúp mik với: cho a,b,c là các số dương thỏa abc=1. Chứng minh rằng :1/((a+1)^2+b^2+1)+1/((b+1)^2+c^2+1)+1/((c+1)^2+a^2+1) bé hơn hoặc bằng 1/2. giúp mình nhé, thanks mn.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+1\right)^2+b^2+1=a^2+2a+1+b^2+1=\left(a^2+b^2\right)+2a+2\ge2\left(ab+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\)(1)
\(\left(b+1\right)^2+c^2+1=b^2+2b+1+c^2+1=\left(b^2+c^2\right)+2b+2\ge2\left(bc+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}\)(2)
\(\left(c+1\right)^2+a^2+1=c^2+2c+1+a^2+1=\left(c^2+a^2\right)+2c+2\ge2\left(ca+c+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)(3)
Cộng vế theo vế của (1) ; (2) ; (3) ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=b=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
BT1: So sánh hai phân số a-1/a và b+1/b với a và b là các số nguyên cùng dấu BT2 : Tính A 2x/3y + 3y/4z + 4z/5t + 5t/2x với các phân số đã liệt kê bằng nhau BT3 : Cho A 1/2.3/4. ... .99/100 Chứng minh 1/15 A 1/10BT4 : Tìm các số nguyên dương a b c d thỏa 2 bé hơn hoặc bằng a bé hơn hoặc bằng b bé hơn hoặc bằng c bé hơn hoặc bằng d và (1/2-1/a)+(1/2-1/b)+(1/2-1/c) 1/2-1/dBT5 : Tìm số nguyên T lớn nhất không vượt quá 2/ 1/2016+3/2017+5/2018+...+43/2039
Đọc tiếp
BT1: So sánh hai phân số a-1/a và b+1/b với a và b là các số nguyên cùng dấu
BT2 : Tính A= 2x/3y + 3y/4z + 4z/5t + 5t/2x với các phân số đã liệt kê bằng nhau
BT3 : Cho A = 1/2.3/4. ... .99/100 Chứng minh 1/15 < A < 1/10
BT4 : Tìm các số nguyên dương a b c d thỏa 2 bé hơn hoặc bằng a bé hơn hoặc bằng b bé hơn hoặc bằng c bé hơn hoặc bằng d và (1/2-1/a)+(1/2-1/b)+(1/2-1/c) = 1/2-1/d
BT5 : Tìm số nguyên T lớn nhất không vượt quá 2/ 1/2016+3/2017+5/2018+...+43/2039
1.Với a> hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2)+ (1/1+b^2) lớn hơn hoặc bằng 2/1+ab
2.Với a > hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1,c lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2) +(1/1+b^2)+ (1/1+c^2) lớn hơn hoặc bằng 3/1+abc
3.Cho a,b,c >0 và a< hoặc bằng 1, b/2+a < hoặc bằng 2, c/3+b/2+a < hoặc bằng 3.Tìm Min P=1/a +1/b + 1/c
Giusp e với ạ.Cần lắm ạ.
1.Với a> hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2)+ (1/1+b^2) lớn hơn hoặc bằng 2/1+ab
2.Với a > hoặc bằng 1,b lớn hơn hoặc bằng 1,c lớn hơn hoặc bằng 1 chứng minh (1/1+a^2) +(1/1+b^2)+ (1/1+c^2) lớn hơn hoặc bằng 3/1+abc
3.Cho a,b,c >0 và a< hoặc bằng 1, b/2+a < hoặc bằng 2, c/3+b/2+a < hoặc bằng 3.Tìm Min P=1/a +1/b + 1/c
Giusp e với ạ.Cần lắm ạ.
chp ba số 0 bé hơn hoặc bằng a bé hơn hoặc bằng b bé hơn hoặc bằng c bé hơn hoặc bằng 1
CMR
a/(bc+1) + b/(ac+1) + c/(ab+1) bé hơn hoặc bằng 2
ai giải vừa nhanh vừa đúng mk tick cho nha. lưu ý phải có lời giải. ai ko có coi như ko làm. các bạn làm nhanh dùm mk nha
Mik mới học lớp 6 nên ko thể giải giúp bạn được ^-^
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ba số dương 0 nhỏ hơn hoăc bằng a nhỏ hơn hoăc bằng b nhỏ hơn hoặc bằng c nhỏ hơn hoặc bằng 1.Chứng minh rằng
a/bc+1 +b/ac+1 + c/ab+1 nhỏ hơn hoăc bằng 2
Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (vì a+b+c=1) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cách khác dùng AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c là các số nguyên tố khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng : 1/[a,b] + 1/[b,c] + 1/[c,a] bé hơn hoặc bằng 1/3
Giả sử a < b < c thì a \(\ge\)2 ; b \(\ge\)3 ; c \(\ge\)5.
Ta có :
\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[b,c\right]}=\frac{1}{bc}\le\frac{1}{15},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)
suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\text{ ( đpcm )}\)
Đúng 0
Bình luận (0)