Diện tích tam giác vuông ABD vuông tại A được tính theo 2 cách:

\(S_{ABD}=\frac{AB\times AD}{2}=\frac{AH\times BD}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}\)

=> \(AH\times BD=4\sqrt{3}\)

=> \(BD\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

=> \(BD=4\left(cm\right)\)

Tam giác AHB đồng dạng tam giác DHA theo trường hợp góc - góc nên suy ra:
\(\frac{AH}{HD}=\frac{BH}{AH}\) => \(AH^2=BH\times DH=\left(BD-DH\right)\times DH\)

=> \(\left(\sqrt{3}^2\right)=3=\left(4-DH\right)\times DH\)

=> \(4DH-DH^2-3=0\)

=> \(-\left(DH^2-4DH+3\right)=0\)

=> \(DH^2-4DH+3=0\)

=> \(DH^2-DH-3DH+3=0\)

=> \(DH\left(DH-1\right)-3\left(DH-1\right)=0\)

=> \(\left(DH-1\right)\left(DH-3\right)=0\)

Với trường hợp DH=1 (cm) thì theo định lí Pytago, ta sẽ tính được AD=2(cm)

Với trường hợp DH=3(cm) thì theo định lí Pytago, ta sẽ tính được \(AD=\sqrt{12}\left(cm\right)\)

Vậy độ dài chiều dài của hình chữ nhật đó là \(\sqrt{12}\left(cm\right)\)

a: \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AD^2=BD^2=25\\\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{25}{144}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4\left(cm\right)\\AC=3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow S_{ABCD}=AB\cdot AC=12\left(cm^2\right)\)

a, Dễ CM AEOF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

=>AO=EF

Mà AO=OC=AC/2 (O là tr.điểm AC do ABCD là hình chữ nhật)

=>EF=AC/2=12/2=6cm

b) CM \(\Delta AHO=\Delta CKO\left(ch-gn\right)\) => AH=KC

Mà AH//KC (cùng vuông góc với BD)

=>AHCK là hình bình hành => AK//HC

c, Có OA=OB=OC=OD (do ABCD là hình chữ nhật)

tam giác OAD cân có OE là đg cao nên cũng là trung tuyến => F là tr.điểm AD

Xét tam giác AHD vuông ở H có F là tr.điểm AD nên HF là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD => HF=AF (=1/2AH)

Mà AF=OE (AEOF là hình chữ nhật)

=>HF=OE

Dễ CM EF là đg trung bình của tam giác ABD => EF//BD hay EF//OH=>EFHO là hình thang,mà HF=OE

=>EFHO là hình thang cân