Gọi giao điểm của d và AB là D

\(\Rightarrow S_{ACD}=2S_{BCD}\)

\(\Rightarrow AD=2BD\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(2;-5\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-1;y-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{4}{3}\\y-4=-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\left(\dfrac{11}{3};-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(11;-8\right)\)

Đường thẳng d nhận \(\left(8;11\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(8\left(x-6\right)+11\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow8x+11y-26=0\)

Phương trình đường thẳng qua điểm C là: 5x + 3y - 21 = 0

Tìm điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD là đường cao của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABD là: \(S_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\) 

Diện tích phần chứa điểm B là: \(S_{BCD} = \dfrac{1}{3}\)  

Diện tích phần chứa điểm A là: \(S_{ACD} = S_{ABC} - S_{ABD} - S_{BCD} = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{26} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{26} - \dfrac{2}{3}\)

Vậy ta cần tìm điểm D sao cho AD là đường cao của tam giác ABC và \(S_{ACD} = 2S_{BCD}\)

Giải hệ phương trình tìm được D(2;4).

Vậy phương trình đường thẳng chia tam giác thành hai phần, phần chứa điểm A có diện tích gấp đôi phần chứa điểm B là: 5x - 3y - 7 = 0.

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Xét ΔAHC và ΔABC có C chung và A H C ^ = B A C ^ = 90 ∘ nên ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

Ta có S D E C = 1 2 S A B C (1), S A H C : S A B C = 18 25 (2).

Từ (1) và (2) suy ra

S D E C : S A H C = 1 2 : 18 25 = 25 36 = ( 5 6 ) 2   3

Vì DE // AH (cùng vuông với BC) duy ra ΔDEC ~ ΔAHC nên

S D E C : S A H C = ( E C H C ) 2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra E C H C = 5 6  tức là E C 18 = 5 6 => EC = 15cm.

Đáp án: A

Viết PT đường trung tuyến BK 
Xác định K: 
x_K = \(\frac{x_A+x_C}{2}\) = \(\frac{3}{2}\) 
y_K = \(\frac{y_A+y_C}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) 

(BK): \(\frac{x-x_B}{x_K-x_B}=\frac{y-y_B}{y_K-y_B}\) 
=> (x-3)/(3/2 - 3) = (y+5)/(9/2 +5) 
=> -2(x-3)/3 = 2(y+5)/19 
=> -19x + 57 = 3y + 15 
=> y = \(\frac{-19x}{3}+14\)

Đường thẳng (d1) vuông góc (BK) có dạng y = 3x/19 +c 
do qua A(-1,2) => 2 = -3/19 + c => c = 2 + 3/19 = 41/19 
=> (d1): y =\(\frac{3x}{19}+\frac{41}{19}\) 
Giả sử đường thẳng cần tìm cắt BC tại M 
Ta có \(\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}}\)=2 
mà S(ABM)/S(ACM) =(AH.BM/2)/(AH.CM/2) = \(\frac{BM}{CM}\) = 2 (AH là đường cao) 
=> Vecto MB/ Vecto MC = -2 
=> x_M = (x_B + 2x_C)/ 3 = \(\frac{11}{3}\) 
=> y_M = (yB + 2y_C)/3 = \(\frac{9}{3}\) = 3 
=> Viết PT đường thẳng (d) đi qua A, M: 
(x-x_A)/(x_M-x_A)= (y-y_A)/(y_M-y_A) 
=> (x+1)/(11/3 +1) = (y-2)/(3-2) 
4(x+1)/14 = y-2 
=> y = \(\frac{2x}{7}+\frac{16}{7}\)

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Xét ΔAHC và ΔABC có C chung và A H C ^ = B A C ^ = 90 ∘ nên ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

Ta có S D E C = 1 2 S A B C (1), S A H C : S A B C = H C B C = 9 9 + 3 , 5 = 18 25 2

Từ (1) và (2) suy ra S D E C : S A H C = 1 2 : 18 25 = 25 36 = ( 5 6 ) 2 ( 3 )

Vì DE // AH (cùng vuông với BC) duy ra ΔDEC ~ ΔAHC nên

S D E C : S A H C = ( E C H C ) 2 ( 4 )

Từ (3) và (4) suy ra E C H C = 5 6  tức là E C 9 = 5 6  => EC = 7,5cm.

Đáp án: D